Ряды Фурье и их применение в технике связи

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Ряды Фурье и их применение в технике связи
Рубрика (тематическая категория)	Образование

Разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды

Лекция 6. Непрерывный канал

Критерии качества восстановления.

Существуют следующие критерии:

1) Критерий наибольшего отклонения

где: допускаемая погрешность восстановления, - max значение - текущая погрешность приближения.

При этом имеется уверенность, что любые изменения исходного сигнала, включая кратковременные выбросы будут зафиксированы.

2) Критерий СКЗ. где: - дополнительная СК погрешность приближения, - СК погрешность приближения.

3) Интегральный критерий

Определяется max среднее значение за период дискретизации.

4) Вероятностный критерий

Задаётся допустимый уровень, величина Р – вероятности того, что текущая погрешность приближения не зависит от некоторого определённого значения.

Цель лекции: ознакомление c непрерывным каналом

а) разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды;

б) Ряды Фурье и их применение в технике связи;

в) теорема Котельникова (Основная теорема Шеннона);

г) пропускная способность непрерывного канала;

д) модель НКС.

В теории связи для представления сигналов широко используются два частных случая разложения функций в ортогональные ряды: разложение по тригонометрическим функциям и разложение по функциям вида sin x/x. В первом случае получаем спектральное представление сигнала в виде обычного ряда Фурье, а во втором случае – временное представление в виде ряда В.А. Котельникова.

Простейшей с практической точки зрения формой выражения сигнала является линœейная комбинация некоторых элементарных функций

В общем случае, сигнал представляет собой сложное колебание, в связи с этим возникает крайне важно сть представить сложную функцию s(t), определяющую сигнал, через простые функции.

При изучении линœейных систем такое представление сигнала весьма удобно. Оно позволяет решение многих задач расчленить на части, применяя принцип суперпозиции. К примеру, чтобы определить сигнал на выходе линœейной системы, вычисляется реакция системы на каждое элементарное воздействие ψ k (t), а затем результаты, умноженные на соответствующие коэффициенты а k легко вычислялись и не зависели от числа членов суммы. Указанным требованиям наиболее полно удовлетворяет совокупность ортогональных функций.

Функции ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Заданные на интервале, называются ортогональными,

если при. (6.3)

Основой спектрального анализа сигналов является представление функций времени в виде ряда или интеграла Фурье. Любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условию Дирихле, должна быть представлен в виде ряда по тригонометрическим функциям

Величина а 0, выражающая среднее значение сигнала за период, принято называть постоянной составляющей. Она вычисляется по формуле

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье

Величина A k есть комплексная амплитуда, она находится по формуле

Соотношения (6.8) и (6.9) составляют пару дискретных преобразований Фурье. Необходимо отметить, что рядом Фурье можно представить не только периодический сигнал, но и любой сигнал конечной длительности. В последнем случае сигнал S(t ) принимается периодически продолженным на всœей оси времени. При этом равенство (6.4) или (6.8) представляет сигнал только на интервале его длительности (-Т/2,Т/2 ). Случайный сигнал (или помеха), заданный на интервале (-Т/2,Т/2 ), должна быть также представлен рядом Фурье

где a k и b k являются случайными величинами (для флуктационной помехи – независимыми случайными с нормальным распределœением) .

Ряды Фурье и их применение в технике связи - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Ряды Фурье и их применение в технике связи" 2017, 2018.

Транскрипт

1 Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004

2 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие для студентов -го курса). МФТИ. М., с. В соответствии с программой кафедры высшей математики МФТИ излагаются начальные сведения по теории тригонометрических рядов Фурье, теоремы о сходимости и равномерной сходимости рядов Фурье, теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. В центре внимания вопросы равномерной сходимости ряда Фурье. В отличие от многих курсов математического анализа, равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочногладкой функции доказывается с неулучшаемой оценкой скорости сходимости ряда Фурье. Зависимость скорости сходимости ряда Фурье функции от ее гладкости также устанавливается вместе с точными оценками. c Московский физико-технический институт, 004 c О.В.Бесов, 004

3 Содержание 3 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Сходимость ряда Фурье Равномерная сходимость ряда Фурье Приближение непрерывных функций многочленами Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Заключительное замечание

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Определение 1.1. Ряд вида a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) называется тригонометрическим рядом. Множество функций 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функция является ортогональной системой в том смысле, что Кроме того, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Лемма 1.1. Пусть sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 5 и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на [, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Домножим равенство 1.1) почленно на cos nx или sin nx n N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функций системы дает fx) cos nx dx = fx) sin nx dx = a n cos nx dx = πa n, b n sin nx dx = πb n, откуда получаем вторую и третью формулы из 1.). Первая из формул 1.) получается почленным интегрированием ряда 1.1). Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси π-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда если этот ряд сходится) также является π-периодической функцией. Определение 1.. Пусть f π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке [, π]. Тригонометрический ряд с коэффициентами a k, b k, определенными формулами 1.), называется тригонометрическим) рядом Фурье функции f, а коэффициенты a k, b k коэффициентами ряда Фурье функции f.

6 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье В этом случае пишут fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) понимая под такой записью, что функции f поставлен в соответствие ее ряд Фурье. Лемму 1.1 можно переформулировать так: равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Упражнение 1.1. Показать, что тригонометрический ряд sin kx k 1+ε, ε > 0, является рядом Фурье. Заметим, что если π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на каком-либо отрезке длины π, то она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом отрезке и при этом b+π a+π fx) dx = fx) dx. b Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффициенты Фурье π-периодической функции f можно вычислять, заменив в формулах 1.) интеграл по отрезку [, π] на интеграл по любому отрезку . С другой стороны, каждую заданную на абсолютно интегрируемую функцию можно изменив при необходимости ее значение в точке a π или в точке a + π, или и в той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси π-периодической функции. При этом изменение ее значения в одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее πпериодического продолжения 1.), а значит, и ряда Фурье 1.3). Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно изучать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной π, например, на [, π]. a

7 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 7 Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином смысле к функции f. В этом случае говорят, что функция f разложена в ряд Фурье. Теорема 1.1 Римана об осцилляции). Пусть функция f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале a, b). Тогда lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что a, b) =, +) если это не так, то функцию f можно доопределить нулем на, +) \ a, b)). Известно, что всякая абсолютно интегрируемая на,) функция f является непрерывной по сдвигу в среднем, т.е. + fx + h) fx) dx 0 при h) Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем непрерывной финитной функцией. Заменив переменную x на x + π λ, получаем: Iλ) + В силу 1.4) Iλ) 1 fx) cos λx dx = + f = x + π) λ f [ f x + π) cos λx dx = λ x + π) ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Для интеграла + fx) sin λx dx доказательство аналогично.

8 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Следствие 1. Коэффициенты Фурье 1.) абсолютно интегрируемой на отрезке [, π] функции стремятся к нулю при k. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Частичная сумма ряда Фурье S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx называется суммой ряда Фурье порядка n N 0 функции f. Приведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших исследований. Назовем ядром Дирихле функцию D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Последнее равенство правая часть понимается при x = = mπ, m Z, как предел частного при x mπ) устанавливается следующим образом. При x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Ядро Дирихле 1.5) является, очевидно, π-периодической, четной, непрерывной функцией, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 9 Преобразуем сумму Фурье S n x; f), подставив в нее вместо коэффициентов Фурье их выражения 1.). Получим S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Произведя в последнем интеграле называемом интегралом Дирихле) замену переменной t на t+x и сдвиг отрезка интегрирования, получим S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как функция t. Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению.

10 10 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 1. принцип локализации). Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], x 0 R, 0 < δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

11 . Сходимость ряда Фурье. 11 точка f в частности, если f непрерывна в точке x 0), то ряд Фурье в точке x 0 сходится к fx 0). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x 0 почти регулярная точка функции f. Из формулы 1.8) с помощью 1.6) получаем S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Дробь t sin t, доопределенная единицей при t = 0, является непрерывной на функцией. Дробь fx 0 + t) fx 0 + 0) t является абсолютно интегрируемой на функцией, поскольку таковой является ее числитель, и при t 0+0 она имеет конечный предел. То же относится и ко второй дроби в квадратной скобке. Следовательно, множитель при sin n + 1)) t в подынтегральном выражении последнего интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n, т.е. S n x 0 ; f) fx 0 0) fx 0 + 0) при n. З а м е ч а н и е.1. Требование существования f + +x 0), f x 0) в условии теоремы можно как это видно из до-

12 1 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье казательства) заменить более слабым требованием выполнения неравенств fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),.1) при некоторых α 0, 1], δ > 0, M > 0. Условия.1) называются односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при α = 1 еще и односторонними) условиями Липшица. Следствие 1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и существует f x 0). Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0). З а м е ч а н и е.. Непрерывность на R π-периодической функции не является достаточным условием сходимости ее ряда Фурье в данной точке x 0. Существуют примеры π-периодической непрерывной на R функций, ряды Фурье которых расходятся в каждой рациональной точке. В теореме.1, замечании.1 и следствии приводятся достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Существуют и значительно более общие достаточные условия такой сходимости. З а м е ч а н и е.3. Пусть функция f задана и абсолютно интегрируема на отрезке длиной π, например на [, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах отрезка можно применить теорему.1, продолжив функцию f изменив при необходимости ее значения на одном или обоих концах) до π-периодической функции. После такого продолжения точка x = будет почти регулярной тогда и только тогда, когда f +), f π). В этом случае ряд Фурье функции f f + 0) + fπ 0) сходится в точке x 0 = к. Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в точке x 0 = π. Пример.1. Найдем ряд Фурье функции fx) = π x, x .

13 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 13 Пусть f: R R π-периодическая функция, fx) = fx) при 0 < x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 3.1. Пусть f π-периодическая непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция. Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R и sup S n x; f) fx) C ln n при n, x R n где C не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 < t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Отсюда 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Полагая δ = δ n = n 1, получаем, что при n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n где C не зависит от n. Из последнего неравенства следует утверждение теоремы. Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает равномерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты стремления к нулю остатка этого ряда. Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функции может быть установлена и при условиях более общих, чем в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Определение. Говорят, что функция f: R удовлетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α > 0: fx) fy) M α x y α x, y . Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера степени α сужается при увеличении α. Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема на , то она удовлетворяет на условию Липшица. Следующая теорема обобщает теорему 3.1. Теорема 3.. Пусть π-периодическая функция f удовлетворяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где C α не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой.1) в виде S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Положим fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцилляции, получаем S n x; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Напомним, что π t < sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t > δ, то h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 так что 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α λ α ln 1 δ. C M α t λ α, Полагая δ = n 8 и собирая оценки, приходим к утверждению теоремы. Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной сходимости, допускает следующее обобщение. Теорема 3.3. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Пусть на некотором интервале a, b) f непрерывна и f кусочно-непрерывна. Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на любом отрезке a, b). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n 8 δ < δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно малое δ = δε) > 0, что sup I δ,n < ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Тогда из 3.1) и полученных оценок следует, что sup S n x; f) fx) 0 при n x и теорема установлена. Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке достаточно знать поведение этой функции лишь на окрестности a ε, b+ε) этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0. Из теоремы 3.3 следует, например, что ряд sin kx k на любом отрезке [ε, π ε], ε > 0, равномерно сходится к функции fx) = π x. Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочнонепрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени α > 0 на . 4. Приближение непрерывных функций многочленами Определение 4.1. Функция вида A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) тригономе- называется тригонометрическим многочленом трическим полиномом) степени n. Теорема 4.1 Вейерштрасса). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > < ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {x j } J j=0, x j = + j π J, разбиение отрезка [, π]. Построим ломаную вписанную в график функции f), соединив отрезками

19 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 19 последовательно точки x j, fx j)) графика f. Обозначим через Λ J: R R π-периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [, π] с построенной ломаной. Очевидно, Λ J кусочно линейная на [, π] функция, а значит, и кусочнонепрерывно дифференцируемая т.е. Λ J кусочно-непрерывна). Непрерывная функция f является равномерно непрерывной. Поэтому fx) fx) < ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T, что max fx) T x) < ε. x π

20 0 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Упражнение 4.1. Показать, что последняя теорема перестает быть верной, если отбросить условие f) = fπ). Заметим, что в теореме 4.1 в качестве тригонометрического многочлена T нельзя вообще говоря) взять S n x; f) частичную сумму ряда Фурье функции f), поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться не обязан даже и поточечно сходиться) к функции f. Однако, в качестве T можно взять σ n x; f) сумму Фейера функции f) при достаточно большом n, где σ n x; f) = S 0x; f) + S 1 x; f) + + S n x; f) n + 1 среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера: Теорема 4. Фейера). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда σ n x; f) fx) при n. R Доказательства этой теоремы приводить не будем. Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают еще и следующим образом: Ряд Фурье π-периодической непрерывной функции f суммируем к fx) методом средних арифметических. Метод суммирования ряда средними арифметическими последовательности его частичных сумм) дает возможность и для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности этих средних арифметических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда. Пример 4.1. Расходящийся ряд суммируем методом средних арифметических к числу 1. С помощью теоремы 4.1 Вейерштрасса) доказывается и возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P.

21 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 1 Теорема 4.3 Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке . Тогда для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P, что max fx) P x) < ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T, что max f t) T t) max f t) T t) < ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Всякая непрерывная на отрезке функция является равномерным пределом некоторой последовательности алгебраических многочленов. 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Теорема 5.1. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx ее разложение в ряд Фурье. Тогда f x) ka k sin kx + kb k cos kx, т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции почленным дифференцированием. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Тогда, интегрируя по частям, получим α k = 1 π β k = 1 π α 0 = 1 π f x) cos kx dx = f x) dx = 1 = 0, π = 1 π fx) cos kx π f x) sin kx dx = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 3 Лемма 5.1. Пусть π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную порядка m N. Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются оценки) 1 a k + b k = o k m при k. 5.1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m 1 и f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Поскольку α k, β k 0 k) по лемме о стремлении к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства получаем 5.1). Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные свойства функции f. Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если использовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных πпериодических функций: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Это неравенство будет установлено ниже. Применяя 5.) к производной f m), получаем, что в условиях леммы 5.1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx <. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ного с рядом Фурье π-периодической непрерывной и кусочнонепрерывно дифференцируемой функции f, т.е. ряда Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) где a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Сопряженным ядром Дирихле называется D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Последнее равенство устанавливается так же, как 1.5). же, как 1.8) устанавливается, что частичную сумму n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx ряда 5.3) можно представить в виде S n x; f) = где 0. Так D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Лемма 5.. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда при некотором C > 0 и n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) x R n+1

25 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 5 Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M 1 max R f. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем fx + t) fx t) M 1 t, 0 < t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 3.1. Пусть ϕ f m 1) и α k, β k коэффициенты Фурье функции ϕ. По теореме 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Пусть a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Пусть сначала m 1 четно. Тогда в силу m 1 раз примененной теоремы 5.1 при x R имеем r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учитывая сходимость ряда α k cos kx + β k sin kx и оценку установленные в случае m = 1 данной теоремы) sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. Получим r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n и 5.5) в этом случае установлено. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 7 Пусть теперь m 1 нечетно. Тогда r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Ряд α k sin kx β k cos kx сходится по лемме 5.. Применяя преобразование Абеля и оценку 5.5), получим, что r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, и теорема доказана. Теорема 5. показывает, что чем больше производных имеет функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье. З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5. можно переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке [, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее π-периодического продолжения условий соответственно леммы 5.1 и теоремы 5.. Именно, следует для функции f: [, π] R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные: f j)) = f j) π) при j = 0, 1,..., m 1. При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и теоремы 5.1 для функции f: [, π] R следует считать выполненным равенство f) = fπ). Наряду с теоремой 5. установим и другую теорему 5., хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-

28 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ференциальными свойствами π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье. Доказательство теоремы 5. в отличие от теоремы 5. опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя 5.), которое будет предварительно установлено. Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем. Лемма 5.3. Пусть f π-периодическая и кусочно-непрерывная функция, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо неравенство Бесселя 5.). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является π-периодической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функцией. По теореме 5., она раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Домножим равенство 5.6) почленно на fx) и проинтегрируем полученный ряд также равномерно сходящийся) почленно. Получим в силу формул 1.) для коэффициентов Фурье равенство a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7) следствием которого является.) Равенство Парсеваля 5.7) и неравенство Бесселя 5.) будут позднее распространены на функции f со значительно более общими свойствами. Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и Λ J: R R π-периодическая непрерывная функция, кусочно линейная на [, π], построенная при доказательстве теоремы Вейерштрасса 4.1 график Λ J представляет собой вписанную в

29 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 9 график f ломаную). Обозначим через a k f), b k f) коэффициенты Фурье функции f. Из 5.) следует неравенство a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Пусть n N фиксировано, а J. Тогда, как легко видеть, a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Переходя к пределу в неравенстве 5.5), получаем, что a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Переходя в последнем неравенстве к пределу при n, приходим к утверждению леммы. Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R и) 1 max fx) S nx; f) = o при n. 5.9) x R n m 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее ряда Фурье. r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где α k, β k коэффициенты Фурье функции f m), а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В силу неравенства Коши Шварца N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Предельный переход в последнем неравенстве при N показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N поставить. Используя его, получаем, что r n x; f) αk + β k) 1 k m = = ε n 1, 5.10) km причем ε n 0 n) в силу сходимости ряда αk + + βk), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f m) см. лемму 5.3). Заметим, что 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Отсюда и из 5.10) следует 5.9). Заключительное замечание В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного интегрирования рядов Фурье, рядов Фурье l-периодических функций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложение этих вопросов можно найти во многих учебниках. Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про- n

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k (k 1 Функциональным рядом называется

Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

«Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу (N) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,... (или просто последовательность).

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f(x) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F"(x) = f(x). Пример

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

FOURIER SERIES M I VISHIK Represetatio of ay periodic fuctio as a sum of correspodig trigoometric series, kow as its Fourier series expasio, is discussed Parseval equatio is preseted: itegral of a squared

Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в

009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n: D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f: D C если для каждого

Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке (где a < b). Произвольное

1

Возможности приближения рядов Фурье в случае линейного сигнала бывает необходимым для построения функций в случае разрывных периодических элементов. Возможности использования данного метода для построения и разложения их с использованием конечных сумм ряда Фурье использующих при решении многих задач различных наук, таких как физики, сейсмологии и так далее. Процессы океанских приливов, солнечной активности рассматриваются способом разложения колебательных процессов, функций описываемых эти преобразования. С развитием компьютерных технологий ряды Фурье стали применяться для более и более сложных задач, а так же благодаря этому стало возможным использование данных преобразований в косвенных науках, таких как медицина, химия. Преобразование Фурье описывается как в действительной, так и в комплексной форме, второе распределение дало возможность произвести прорыв в исследовании космического пространства. Результатом данной работы является применение рядов Фурье к линеаризации разрывной функции и подбором количества коэффициентов ряда для более точного наложения ряда на функцию. Причем, при использовании разложения в ряд Фурье, данная функция перестает быть разрывной и уже при достаточно малых, осуществляется хорошее приближение используемой функции.

ряд фурье

преобразование фурье

фазовый спектр.

1. Алашеева Е.А., Рогова Н.В. Численный метод решения задачи электродинамики в тонкопроволочном приближении. Наука и мир. Международный научный журнал, № 8(12), 2014. Том 1. г. Волгоград. С.17-19.

2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. Изд. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, -408 С.

3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001.

4. Р.Эдвардс Ряды Фурье в современном изложении. Изд. Мир. В 2 томах. Том 1. 1985 год. 362 стр.

5. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Изд. 2-е стереотипное. «Технiка»,1997. – 768 с.

Представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда называется рядом Фурье. Разложением по ортогональному базису называют данное решение в общем виде. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментом при решении разнообразных задач. Т.к. хорошо известны и изучены свойства данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке . Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. Данное преобразование Фурье очень плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие.

Ряды Фурье используются при решении многих прикладных задач. Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Такие процессы как океанские приливы и световые волны до циклов солнечной активности относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов в ряд Фурье. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данное преобразование используется для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии .

С ростом технологий, т.е. появление и развития компьютера, вывело преобразование Фурье на новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Который стал наглядной реализацией роста научного процесса и применения рядов Фурье. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии .

Рассмотрим фазовый спектр периодического сигнала определяется из следующего выражения:

где символами и соответственно обозначены мнимая и действительная части величины, заключенной в квадратные скобки.

Если умножить на действительную постоянную величину K, то разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

Из выражения (1) следует, что фазовый Фурье-спектр обладает следующими свойствами:

1) является функцией , т. е. в отличие от спектра мощности, который не зависит от , , изменяется при сдвиге сигнала вдоль оси времени;

2) не зависит от К, т. е. инвариантен к усилению или ослаблению сигнала, в то время как спектр мощности является функцией К.

3) т. е. является нечетной, функцией n.

Примечание. С учетом геометрической интерпретации приведенных выше рассуждений, можно выразить через спектр мощности и фазовый спектр следующим образом:

Поскольку

то из (2) и (3) следует, что может быть восстановлен однозначно, если известны амплитудный (или спектр мощности) и фазовый спектры.

Рассмотрим пример. Нам дана функция на промежутке

Общий вид ряда Фурье:

Подставим свои значения и получим:

Подставим свои значения и получим.

Ряды Фурье - это представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда. В общем виде данное решение называют разложением элемента по ортогональному базису. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментарием при решении разнообразных задач благодаря свойствам данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке.

Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. А между тем данное преобразование довольно плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. Давайте и мы поближе познакомимся с трудами великого французского ученого, сделавшего открытие, опередившее свое время.

Человек и преобразование Фурье

Ряды Фурье являются одним из методов (наряду с анализом и другими) Данный процесс происходит каждый раз, когда человек слышит какой-либо звук. Наше ухо в автоматическом режиме производит преобразование элементарных частиц в упругой среде раскладываются в ряды (по спектру) последовательных значений уровня громкости для тонов разной высоты. Далее мозг превращает эти данные в привычные для нас звуки. Все это происходит помимо нашего желания или сознания, само по себе, а вот для того чтобы понять эти процессы, понадобится несколько лет изучать высшую математику.

Подробнее о преобразовании Фурье

Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Ряды Фурье относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов - от океанских приливов и световых волн до циклов солнечной (и других астрономических объектов) активности. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данный процесс можно использовать для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии.

Историческая справка

Отцом-основателем этой теории является французский математик Жан Батист Жозеф Фурье. Его именем впоследствии и было названо данное преобразование. Изначально ученый применил свой метод для изучения и объяснения механизмов теплопроводности - распространения тепла в твердых телах. Фурье предположил, что изначальное нерегулярное распределение можно разложить на простейшие синусоиды, каждая из которых будет иметь свой температурный минимум и максимум, а также свою фазу. При этом каждая такая компонента будет измеряться от минимума к максимуму и обратно. Математическая функция, которая описывает верхние и нижние пики кривой, а также фазу каждой из гармоник, назвали преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор теории свел общую функцию распределения, которая трудно поддается математическому описанию, к весьма удобному в обращении ряду косинуса и синуса, в сумме дающих исходное распределение.

Принцип преобразования и взгляды современников

Современники ученого - ведущие математики начала девятнадцатого века - не приняли данную теорию. Основным возражением послужило утверждение Фурье о том, что разрывную функцию, описывающую прямую линию или разрывающуюся кривую, можно представить в виде суммы синусоидальных выражений, которые являются непрерывными. В качестве примера можно рассмотреть «ступеньку» Хевисайда: ее значение равно нулю слева от разрыва и единице справа. Данная функция описывает зависимость электрического тока от временной переменной при замыкании цепи. Современники теории на тот момент никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывное выражение описывалось бы комбинацией непрерывных, обычных функций, таких как экспонента, синусоида, линейная или квадратичная.

Что смущало французских математиков в теории Фурье?

Ведь если математик был в прав в своих утверждениях, то, суммируя бесконечный тригонометрический ряд Фурье, можно получить точное представление ступенчатого выражения даже в том случае, если оно имеет множество подобных ступеней. В начале девятнадцатого века подобное утверждение казалось абсурдным. Но несмотря на все сомнения, многие математики расширили сферу изучения данного феномена, выведя его за пределы исследований теплопроводности. Однако большинство ученых продолжали мучиться вопросом: "Может ли сумма синусоидального ряда сходиться к точному значению разрывной функции?"

Сходимость рядов Фурье: пример

Вопрос о сходимости поднимается всякий раз при необходимости суммирования бесконечных рядов чисел. Для понимания данного феномена рассмотрим классический пример. Сможете ли вы когда-либо достигнуть стены, если каждый последующий шаг будет вдвое меньше предыдущего? Предположим, что вы находитесь в двух метрах от цели, первый же шаг приближает к отметке на половине пути, следующий - к отметке в три четверти, а после пятого вы преодолеете почти 97 процентов пути. Однако сколько бы вы шагов ни сделали, намеченной цели вы не достигните в строгом математическом смысле. Используя числовые расчеты, можно доказать, что в конце концов можно приблизиться на сколь угодно малое заданное расстояние. Данное доказательство является эквивалентным демонстрации того, что суммарное значение одной второй, одной четвертой и т. д. будет стремиться к единице.

Вопрос сходимости: второе пришествие, или Прибор лорда Кельвина

Повторно данный вопрос поднялся в конце девятнадцатого века, когда ряды Фурье попробовали применить для предсказания интенсивности отливов и приливов. В это время лордом Кельвином был изобретен прибор, представляющий собой аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло морякам военного и торгового флота отслеживать это природное явление. Данный механизм определял наборы фаз и амплитуд по таблице высоты приливов и соответствующих им временных моментов, тщательно замеренных в данной гавани в течение года. Каждый параметр представлял собой синусоидальную компоненту выражения высоты прилива и являлся одной из регулярных составляющих. Результаты измерений вводились в вычислительный прибор лорда Кельвина, синтезирующий кривую, которая предсказывала высоту воды как временную функцию на следующий год. Очень скоро подобные кривые были составлены для всех гаваней мира.

А если процесс будет нарушен разрывной функцией?

В то время представлялось очевидным, что прибор, предсказывающий приливную волну, с большим количеством элементов счета может вычислить большое количество фаз и амплитуд и так обеспечить более точные предсказания. Тем не менее оказалось, что данная закономерность не соблюдается в тех случаях, когда приливное выражение, которое следует синтезировать, содержало резкий скачок, то есть являлось разрывным. В том случае, если в устройство вводятся данные из таблицы временных моментов, то оно производит вычисления нескольких коэффициентов Фурье. Исходная функция восстанавливается благодаря синусоидальным компонентам (в соответствии с найденными коэффициентами). Расхождение между исходным и восстановленным выражением можно измерять в любой точке. При проведении повторных вычислений и сравнений видно, что значение наибольшей ошибки не уменьшается. Однако они локализируются в области, соответствующей точке разрыва, а в любой иной точке стремятся к нулю. В 1899 году этот результат был теоретически подтвержден Джошуа Уиллардом Гиббсом из Йельского университета.

Сходимость рядов Фурье и развитие математики в целом

Анализ Фурье неприменим к выражениям, содержащим бесконечное количество всплесков на определенном интервале. В общем и целом ряды Фурье, если изначальная функция представлена результатом реального физического измерения, всегда сходятся. Вопросы сходимости данного процесса для конкретных классов функций привели к появлению новых разделов в математике, например теории обобщенных функций. Она связана с такими именами, как Л. Шварц, Дж. Микусинский и Дж. Темпл. В рамках данной теории была создана четкая и точная теоретическая основа под такие выражения, как дельта-функция Дирака (она описывает область единой площади, сконцентрированной в бесконечно малой окрестности точки) и «ступень» Хевисайда. Благодаря этой работе ряды Фурье стали применимы для решения уравнений и задач, в которых фигурируют интуитивные понятия: точечный заряд, точечная масса, магнитные диполи, а также сосредоточенная нагрузка на балке.

Метод Фурье

Ряды Фурье, в соответствии с принципами интерференции, начинаются с разложения сложных форм на более простые. Например, изменение теплового потока объясняется его прохождением сквозь различные препятствия из теплоизолирующего материала неправильной формы или изменением поверхности земли - землетрясением, изменением орбиты небесного тела - влиянием планет. Как правило, подобные уравнения, описывающие простые классические системы, элементарно решаются для каждой отдельной волны. Фурье показал, что простые решения также можно суммировать для получения решения более сложных задач. Выражаясь языком математики, ряды Фурье - это методика представления выражения суммой гармоник - косинусоид и синусоид. Поэтому данный анализ известен также под именем «гармонический анализ».

Ряд Фурье - идеальная методика до «компьютерной эпохи»

До создания компьютерной техники методика Фурье являлась лучшим оружием в арсенале ученых при работе с волновой природой нашего мира. Ряд Фурье в комплексной форме позволяет решать не только простые задачи, которые поддаются прямому применению законов механики Ньютона, но и фундаментальные уравнения. Большинство открытий ньютоновской науки девятнадцатого века стали возможны только благодаря методике Фурье.

Ряды Фурье сегодня

С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии.

Тригонометрический ряд Фурье

В математике ряд Фурье является способом представления произвольных сложных функций суммой более простых. В общих случаях количество таких выражений может быть бесконечным. При этом чем больше их число учитывается при расчете, тем точнее получается конечный результат. Чаще всего в качестве простейших используют тригонометрические функции косинуса или синуса. В таком случае ряды Фурье называют тригонометрическими, а решение таких выражений - разложением гармоники. Этот метод играет важную роль в математике. Прежде всего, тригонометрический ряд дает средства для изображения, а также изучения функций, он является основным аппаратом теории. Кроме того, он позволяет решать ряд задач математической физики. Наконец, данная теория способствовала развитию вызвала к жизни целый ряд весьма важных разделов математической науки (теорию интегралов, теорию периодических функций). Кроме того, послужила отправным пунктом для развития следующих функций действительного переменного, а также положила начало гармоническому анализу.

функций. Данное преобразование имеет большое значение, поскольку с помощью него можно решать много практических задач. Рядами Фурье пользуются не только математики, но и специалисты других наук.

Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.

Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.

Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.

Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии .

Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса .

Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;

2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;

3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;

4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;

5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.

Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.

Предмет исследования: ряды Фурье.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.

1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

где непрерывная или кусочно-непрерывная на. Сделаем замену в первом интеграле. Полагаем. Тогда

Следовательно, если четная функция, то (т.е. график четной функции симметричен относительно оси и

Если - нечетная функция, то (т.е. график нечетной функции симметричен относительно начала координат) и

Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:

1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

Пусть - четная функция, заданная на и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Используя полученные выше результаты, получим, что коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Если - нечетная функция, заданная на отрезке и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье, то коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке будет иметь вид

для четной функции:

(16)

для нечетной функции:

Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции .

Определение. Ряды
являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.

Если функция разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Выполним замену переменной. Пусть, где подберем так, чтобы получившаяся функция аргумента была определена на. Следовательно, считаем, что

Получившуюся в результате замены функцию можно разложить на в ряд Фурье:

где

Сделаем обратную замену ⇒ Получим

где

(19)

Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций

Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) .

Тригонометрический ряд Фурье для четной функции, заданной на, будет иметь вид

где

для нечетной функции

где

Замечание! В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций (20) не на отрезке, а на отрезке. В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (19) ((15), если, то есть в этом случае

(23)

или, если

(24)

Сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая функция с периодом, являющаяся периодическим продолжением заданной функции. А для периодической функции справедливо равенство (4).

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого функцию нужно доопределить на промежуток и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке. При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке, на котором функция задана. Для удобства вычислений доопределим функцию четным и нечетным образом.

1) Продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию, совпадающую на отрезке с функцией. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси и на отрезке совпадает с графиком. По формулам (21) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция, с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

2) Доопределим функцию на промежуток нечетным образом, то есть построим новую нечетную функцию, совпадающую на с функцией. График такой функции симметричен относительно начала координат и на отрезке совпадает с графиком. По формулам (22) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

Замечания!

1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке

2) Так как разложение функции на отрезке предполагает ее продолжение на отрезок произвольным образом, то и ряд Фурье для функции не будет единственным .

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на произвольном отрезке длины и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Для этого функцию нужно периодически (с периодом) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье, который следует рассматривать только на отрезке. В силу свойства (3) периодических функций имеем

Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции можно найти по формулам

(25)

2. Практическое применение рядов Фурье

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение

В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.

Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:

1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;

2) Установить период заданной функции;

3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;

4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;

5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;

6) Вычислить коэффициенты Фурье;

7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).

Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье на промежутке.

Решение:

1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

2) Период разложения функции.

3) Функция - нечетная.

4) Функция - непрерывная и монотонна на, т.е. функция удовлетворяет условиям Дирихле.

5) Вычислим коэффициенты ряда Фурье.

6) Запишем ряд Фурье, подставив коэффициенты Фурье в формулу

Ответ:

Пример 2. Разложим функцию с произвольным периодом в ряд Фурье .

Решение: функция определена на полуинтервале (-3;3]. Период разложения функции, полупериод. Разложим функцию в ряд Фурье

В начале координат функция разрывная, поэтому каждый коэффициент Фурье будем представлять в виде суммы двух интегралов.

Запишем ряд Фурье, подставив найденные коэффициенты ряда Фурье в формулу.

Пример 3. Разложить функцию на промежутке в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.

Решение: продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию, совпадающую на отрезке с функцией. Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для - периодическая функция, с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

Тригонометрический ряд Фурье для функции будет иметь вид

Найдем коэффициенты ряда Фурье

Таким образом, когда найдены коэффициенты, можно записать ряд Фурье

Построим график суммы ряда

Пример 4. Дана функция, определенная на отрезке . Выяснить, можно ли разложить функцию в ряд Фурье. Записать разложение функции в ряд Фурье .

Решение:

1) построим график функции на .

2) функция непрерывна и монотонна на , то есть по теореме Дирихле разлагается в тригонометрический ряд Фурье.

3) вычислим коэффициенты Фурье по формулам (1.19).

4) запишем ряд Фурье, используя найденные коэффициенты.

2.2. Примеры применения рядов Фурье в различных областях деятельности человека

Математика – одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.

Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в м атематической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.

Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.

Изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях.

В цифровой обработке изображений применение рядов Фурье позволяет проводить следующие эффекты: размытие, подчеркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение)

Разложение в ряд Фурье применяется в архитектуре при исследовании колебательных процессов. Например, при создании проекта различного вида конструкций рассчитывают прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.

В медицине для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ пользуются математическим аппаратом, в основе которого лежит теория рядов Фурье.

Объемные вычислительные задачи оценки статистических характеристик сигналов, фильтрации шумов возникают при регистрации и обработке данных морского непрерывного дна. При постановке измерений, их регистрации перспективны голографические методы, использующие ряды Фурье. То есть ряды Фурье применяются и в такой науке как океанология.

Элементы математики встречаются на производстве практически на каждом шагу, поэтому специалистам важно знать и блестяще ориентироваться в области применения тех или иных инструментов анализа и расчета .

Заключение

Тема курсовой работы посвящена изучению ряда Фурье. Произвольную функцию можно разложить на более простые, то есть можно разложить в ряд Фурье. Объем курсовой работы не позволяет подробно раскрыть все аспекты разложения функции в ряд. Однако, из поставленных задач, представилось возможным раскрыть основную теорию о рядах Фурье.

В курсовой работе раскрыто понятие тригонометрического ряда Фурье. Определены условия разложимости функции в ряд Фурье. Рассмотрены разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций; непериодических функций.

Во второй главе приведены лишь некоторые примеры разложения функций, заданных на различных промежутках, в ряд Фурье. Описаны те области наук, где используется данное преобразование.

Существует также комплексная форма представления ряда Фурье, которую не удалось рассмотреть, так как не позволяет объем курсовой работы. Комплексная форма ряда алгебраически проста. Поэтому часто используется в физике и прикладных расчетах.

Важность темы курсовой работы обусловлена тем, что находит широкое применение не только в математике, но в других науках: физике, механике, медицине, химии и многих других.

Список литературы

1. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды. [текст]/ Н.К. Бари. - Москва, 1961 . - 936 с .

2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов [текст] / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 736 с.

3. Бугров, Я. С. Высшая математика: Учебник для вузов: В 3 т. [текст] / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004. -512 с.

4. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу: пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. [текст] / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 712 с.

5. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2. Учебник для студентов вузов. [текст] / А. А. Гусак. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для вузов: 2 ч. [текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003. – 306 с.

7. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов(математические основы) [текст]/ А. Лукин. - М., 2007. - 54 с.

8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учебное пособие для втузов. [текст] / Н. С. Пискунов. - 13-е изд.- М.: Наука, 1985. - 432 с.

9. Рудин, У. Основы математического анализа. [текст] / У. Рудин. - 2-е изд., Пер. с англ. .- М.: Мир, 1976 .- 206 с.

10. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. [текст] / Г. М. Фихтенгольц. - 6-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 464 с.

Оренбург, 2015 г.