Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.
В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Допустимые и недопустимые значения переменных
Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.
Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.
Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1: а, если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.
Определение 1
Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.
Определение 2
Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.
То есть отсюда следует полное определение
Определение 3
Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.
Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.
Пример 1
Для примера рассмотрим выражение вида 1 x - y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид (0 , 1 , 2) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что (1 , 1 , 2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .
Что такое ОДЗ?
Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.
Определение 4
Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.
Рассмотрим на примере выражения.
Пример 2
Если имеем выражение вида 5 z - 3 , тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.
Если имеется выражения вида z x - y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.
Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f (x) .
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.
Существуют выражения, где их вычисление невозможно:
- если имеется деление на ноль;
- извлечение корня из отрицательного числа;
- наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
- вычисление логарифма отрицательного числа;
- область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
- нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ - 1 ; 1 ] .
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.
Пример 3
Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.
Ответ: x и y – любые значения.
Пример 4
Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 .
Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.
Ответ: ∅ .
Пример 5
Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x .
Решение
Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.
Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .
Пример 6
Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
Решение
По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:
x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1
Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .
Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.
Тождественные преобразования:
- могут не влиять на ОДЗ;
- могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
- могут сузить ОДЗ.
Рассмотрим на примере.
Пример 7
Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.
Пример 8
Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.
Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.
Пример 9
Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.
Пример 10
Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.
Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.
Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.
Пример 11
Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.
При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.
Пример 12
Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества.
При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!
При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.
Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)
Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.
А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)
Дополнительные ограничения на область определения функции.
Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.
Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.
Например, такое задание:
Найти область определения функции:
на множестве положительных чисел.
Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:
D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...
Мораль: глаза боятся, голова решает!)
Шамшурин А.В. 1
Гагарина Н.А. 1
1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.
Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
- Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
- Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
- Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
- Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
- Определите вид запрета.
- Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
- Исключить эти значения из множества действительных чисел R.
Решить уравнение: =
|
Без ОДЗ |
С ОДЗ |
|
Ответ: х=5 |
ОДЗ: => => Ответ: корней нет |
Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.
Дополнительные уравнения:
а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2
Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений - есть решение
- ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
0, уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.
- В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
ОДЗ: х=2, х=3
Проверка: х=2, + , 0<1, верно
Проверка: х=3, + , 0<1, верно.
Ответ: х=2, х=3.
- > ОДЗ: х=1,х=0
Проверка: х=0, > , 0>0, неверно
Проверка: х=1, > , 1>0, верно
Ответ: х=1.
- + =х ОДЗ: х=3
Проверка: + =3, 0=3, неверно.
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) = ; б) + =0; в) + =х -1
Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут:
- не влиять на ОДЗ;
- приводить к расширенному ОДЗ;
- приводить к сужению ОДЗ.
Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.
Давайте поясним каждый случай примером.
1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Ответ: корней нет |
Ответ: х-любое число, кроме х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет |
ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. |
|
у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. |
ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ |
Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. |
|
х=7, х=1. Ответ: решений нет |
Возрастает, - убывает Ответ: х=2. |
|
0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. |
Дробные уравнения. ОДЗ.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же.
Дробные уравнения.
Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:
Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения.
Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.
Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.
Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:
Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?
В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем:
Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:
Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу:
В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:
А это уравнение уже решит всякий! х = 2 .
Решим ещё один пример, чуть посложнее:
Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать:
И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.
Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:
Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.
С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!
А вот теперь уже раскрываем скобки:
Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:
Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Как ?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – . Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел) . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс»
, для которых существуют
значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет.
Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
Область определения функции, в которой есть дробь
Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции .
Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде 
и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:
Пример 1
Найти область определения функции
Решение
: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:
Полученное уравнение имеет два корня: 
. Данные значения не входят в область определения функции
. Действительно, подставьте или в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.
Ответ
: область определения: 
Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений 
». Напоминаю, что значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание , а фигурные скобки – множество . Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:
Кому как нравится.
В точках 
функция терпит бесконечные разрывы
, а прямые, заданные уравнениями 
являются вертикальными асимптотами
для графика данной функции. Впрочем, это уже немного другая тема, и далее я на этом не буду особо заострять внимание.
Пример 2
Найти область определения функции
Задание, по существу, устное и многие из вас практически сразу найдут область определения. Ответ в конце урока.
Всегда ли дробь будет «нехорошей»? Нет. Например, функция определена на всей числовой оси. Какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен: . Таким образом, область определения данной функции: .
Все функции наподобие 
определены и непрерывны
на .
Чуть более сложнА ситуация, когда знаменатель оккупировал квадратный трёхчлен:
Пример 3
Найти область определения функции 
Решение
: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение
:
Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.
Ответ : область определения:
Пример 4
Найти область определения функции 
Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Советую не лениться с простыми задачками, поскольку к дальнейшим примерам накопится недопонимание.
Область определения функции с корнем
Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно
: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: 
, правда, корень уже 4-й степени в исследованиях функций
не припоминаю.
Пример 5
Найти область определения функции 
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.
Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то есть для нас существует только одна размерность по оси . Пожалуйста, не путайте с неравенствами двух переменных , где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:
1) Слагаемые можно переносить из части в часть, меняя у них (слагаемых) знаки.
2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменить знак самого неравенства . Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».
В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим обе части неравенства на (правило №2):
Ответ
: область определения: 
Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции 
существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.
Пример 6
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения.
Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:
Пример 7
Найти область определения функции 
Решение
: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола 
пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).
Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :
! Примечание:
если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье и методичке Горячие формулы школьного курса математики
.
Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.
Ответ : область определения:
Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальным методом интервалов , известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства .
Пример 8
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец.
Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и .
А вот менее очевидный пример: 
. Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .
Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой
? Да, и сразу напрашивается примитивный пример 
, где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).
С нечётными корнями 
и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным
. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции 
исключаются точки .
Область определения функции с логарифмом
Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие (так как ).
Пример 9
Найти область определения функции
Решение
: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:
Графическое решение для чайников:
Ответ
: область определения:
Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.
Пример 10
Найти область определения функции 
Для решения задачи можно использовать метод предыдущего параграфа – проанализировать, как парабола расположена относительно оси абсцисс. Ответ в конце урока.
Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция 
(квадратный трёхчлен из Примера №7) определена на интервалах , а функция 
(квадратный двучлен из Примера №6) на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.
Полезная информация
: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: 
. Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля =). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОсите чётную
степень, например: 
. Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .
Чтобы не повторяться, давайте усложним задание:
Пример 11
Найти область определения функции 
Решение : в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему:
Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.
Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка):
Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .
Поскольку оба условия должны выполняться одновременно , то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале .
Ответ : область определения:
Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.
Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для 
или 
. Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: 
, или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится (хотя в общем случае это не всегда справедливо). Ну а в теории матана по поводу этого словесного… ой… существуют теоремы.
Пример 12
Найти область определения функции 
Это пример для самостоятельного решения. Использование чертежа вполне уместно, так как функция не самая простая.
Ещё пару примеров для закрепления материала:
Пример 13
Найти область определения функции
Решение
: составим и решим систему:
Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:
Значение оказалось вообще не при делах.
Ответ : область определения
Небольшой математический каламбур на вариацию 13-го примера:
Пример 14
Найти область определения функции 
Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустил, тот в пролёте;-)
Завершающий раздел урока посвящен более редким, но тоже «рабочим» функциям:
Области определения функций
с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами
Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются
точки 
, где Z
– множество целых чисел . В частности, как отмечалось в статье Графики и свойства элементарных функций
, у функции выколоты следующие значения:
То есть, область определения тангенса: 
.
Убиваться сильно не будем:
Пример 15
Найти область определения функции
Решение
: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки:
Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:
В результате 
:
Ответ
: область определения: 
.
В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:
Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика : если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрыва участились в два раза. Тахикардия.
Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:
Иными словами:
