Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.
Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:
Первый элемент последовательности;
Пятый элемент последовательности;
- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.
Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:
Последовательность можно задать тремя способами:
1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.
Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:
В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.
2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.
В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.
Например, если , то
Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.
То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:
Если, например, 
, то
Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.
3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.
Например, рассмотрим последовательность 
, 
Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:
То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.
Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.
Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .
Например, 2; 5; 8; 11;...
Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .
Например, 2; -1; -4; -7;...
Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .
Например, 2;2;2;2;...
Основное свойство арифметической прогрессии:
Посмотрим на рисунок.
Мы видим, что
, и в то же время
Сложив эти два равенства, получим:
.
Разделим обе части равенства на 2:
Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:
Больше того, так как
, и в то же время
, то
, и, следовательно,
Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
Формула го члена.
Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:
и, наконец,
Мы получили формулу n-го члена.
ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.
Сумма n членов арифметической прогрессии.
В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:
Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .
Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:
Сложим попарно:
Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.
Получаем:
Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:
Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .
1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.
Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.
2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...
а) Найдите 31 член прогрессии.
б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.
а) Мы видим, что ;
Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.
В общем случае 
В нашем случае 
, поэтому 
В математике любая организованная каким-либо способом совокупность чисел, которые следуют друг за другом, называется последовательностью. Из всех существующих последовательностей чисел выделяют два интересных случая: прогрессии алгебраическую и геометрическую.
Что представляет собой арифметическая прогрессия?
Сразу следует сказать, что алгебраическую прогрессию часто называют арифметической, поскольку ее свойства изучает ветвь математики - арифметика.
Эта прогрессия представляет собой такую последовательность чисел, в которой каждый следующий ее член отличается от предыдущего на некоторое постоянное число. Оно называется разностью алгебраической прогрессии. Для определенности обозначим его латинской буквой d.
Примером такой последовательности может быть следующая: 3, 5, 7, 9, 11 ..., здесь видно, что число 5 больше числа 3 на 2, 7 больше 5 тоже на 2, и так далее. Таким образом, в представленном примере d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Какие бывают арифметические прогрессии?
Характер этих упорядоченных последовательностей чисел во многом определяется знаком числа d. Выделяют следующие виды алгебраических прогрессий:
- возрастающая, когда d положительное (d>0);
- постоянная, когда d = 0;
- убывающая, когда d отрицательное (d<0).
В примере, который приведен в предыдущем пункте, показана возрастающая прогрессия. Примером убывающей является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постоянная прогрессия, как следует из ее определения, представляет собой совокупность одинаковых чисел.
n-й член прогрессии
Благодаря тому, что каждое последующее число в рассматриваемой прогрессии отличается на константу d от предыдущего, можно легко определить n-й ее член. Для этого нужно знать не только d, но и a 1 - первый член прогрессии. Применяя рекурсивный подход, можно получить формулу алгебраической прогрессии для нахождения n-го члена. Она имеет вид: a n = a 1 + (n-1)*d. Это формула является достаточно простой, и понять ее можно на интуитивном уровне.
Также не представляет никакой сложности ее использование. Например, в прогрессии, которая приведена выше (d=2, a 1 =3), определим 35-й ее член. Согласно формуле, он будет равен: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Формула для суммы
Когда дана некоторая арифметическая прогрессия, то сумма ее первых n членов является часто возникающей задачей, наряду с определением значения n-го члена. Формула суммы алгебраической прогрессии записывается в следующем виде: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, здесь значок ∑ n 1 говорит о том, что суммируются с 1-го по n-й член.
Приведенное выражение можно получить, прибегая к свойствам все той же рекурсии, однако существует более легкий способ доказательства его справедливости. Запишем первые 2 и последние 2 члена этой суммы, выразив их в числах a 1 , a n и d, и получим: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Теперь заметим, что если сложить первый член с последним, то он будет точно равен сумме второго и предпоследнего члена, то есть a 1 +a n . Аналогичным способом можно показать, что эту же сумму можно получить, если сложить третий и предпредпоследний члены, и так далее. В случае парного количества чисел в последовательности получаем n/2 сумм, каждая из которых равна a 1 +a n . То есть получаем вышеприведенную формулу алгебраической прогрессии для суммы: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Для непарного количества членов n получается аналогичная формула, если следовать описанным рассуждениям. Только нужно не забыть добавить оставшееся слагаемое, которое находится в центре прогрессии.
Покажем, как пользоваться приведенной формулой на примере простой прогрессии, которая была введена выше (3, 5, 7, 9, 11 ...). Например, необходимо определить сумму первых 15 ее членов. Для начала определим a 15 . Воспользовавшись формулой для n-го члена (см. предыдущий пункт), получаем: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Теперь можно применить формулу суммы алгебраической прогрессии: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Любопытно привести интересный исторический факт. Формулу для суммы арифметической прогрессии впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик XVIII века). Когда ему было всего 10 лет, то учитель задал задачу, найти сумму чисел от 1 до 100. Говорят, что маленький Гаусс решил эту задачу за несколько секунд, заметив, что попарно суммируя числа с начала и конца последовательности, всегда можно получить 101, а поскольку таких сумм 50, то он быстро выдал ответ: 50*101 = 5050.
Пример решения задачи
В качестве завершения темы алгебраической прогрессии приведем пример решения еще одной любопытной задачи, закрепив тем самым понимание рассматриваемой темы. Пусть дана некоторая прогрессия, для которой известна разность d = -3, а также ее 35-й член a 35 = -114. Необходимо найти 7-й член прогрессии a 7 .
Как видно из условия задачи, значение a 1 является неизвестным, поэтому напрямую формулой для n-го члена воспользоваться не получится. Также является неудобным способ рекурсии, который в ручную тяжело реализовать, и велика вероятность допустить ошибку. Поступим следующим образом: выпишем формулы для a 7 и a 35 , имеем: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Вычтем из первого выражения второе, получим: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Откуда следует: a 7 = a 35 - 28*d. Осталось подставить известные данные из условия задачи и записать ответ: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Геометрическая прогрессия
Чтобы раскрыть тему статьи полнее, приведем краткое описание еще одного вида прогрессии - геометрической. В математике под этим названием понимают последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на некоторый множитель. Обозначим этот множитель буквой r. Он называется знаменателем рассматриваемого вида прогрессии. Примером этой последовательности чисел может быть следующая: 1, 5, 25, 125, ...
Как видно из приведенного определения, алгебраическая и геометрическая прогрессии схожи по своей идее. Отличие между ними заключается в том, что первая изменяется медленнее, чем вторая.
Геометрическая прогрессия также может быть возрастающей, постоянной и убывающей. Ее тип зависит от значения знаменателя r: если r>1, то имеет место возрастающая прогрессия, если r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Формулы геометрической прогрессии
Как и в случае алгебраической, формулы геометрической прогрессии сводятся к определению ее n-го члена и суммы n слагаемых. Ниже приведены эти выражения:
- a n = a 1 *r (n-1) - эта формула следует из определения геометрической прогрессии.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно отметить, если r = 1, то приведенная формула дает неопределенность, поэтому ей пользоваться нельзя. В этом случае сумма n членов будет равна простому произведению a 1 *n.
Например, найдем сумму всего 10 членов последовательности 1, 5, 25, 125, ... Зная, что a 1 = 1 и r = 5, получаем: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1)/4 = 2441406. Полученное значение является наглядным примером того, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.
Пожалуй, первым упоминанием об этой прогрессии в истории является легенда с шахматной доской, когда друг одного султана, обучив его игре в шахматы, попросил за свою услугу зерно. Причем количество зерна должно было быть следующим: на первую клетку шахматной доски необходимо положить одно зерно, на вторую в два раза больше, чем на первую, на третью в 2 раза больше, чем на вторую и так далее. Султан охотно согласился выполнить эту просьбу, но он не знал, что ему придется опустошить все закрома своей страны, чтобы сдержать данное слово.
Сумма арифметической прогрессии.
Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.
Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.
Формула суммы выглядит просто:
Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.
S n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.)
a 1 - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.
a n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.
n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.
Определимся с понятием последнего члена a n . Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)
Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!)
В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.
Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n , определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)
Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.
Прежде всего, полезная информация:
Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.
Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.
1. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.
Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a 1 , последний член a n , да номер последнего члена n.
Где взять номер последнего члена n ? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a n в формулу будем подставлять a 10 , а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.
Осталось определить a 1 и a 10 . Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак.
a 1 = 2·1 - 3,5 = -1,5
a 10 =2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10 .
Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:
Вот и все дела. Ответ: 75.
Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:
2. Дана арифметическая прогрессия (a n), разность которой равна 3,7; a 1 =2,3. Найти сумму первых 15 её членов.
Сразу пишем формулу суммы:
Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:
a 15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1
Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:
Ответ: 423.
Кстати, если в формулу суммы вместо a n просто подставим формулу n-го члена, получим:
Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:
 |
Как видим, тут не требуется n-й член a n . В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)
Теперь задание в виде краткой шифровки):
3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.
Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!?
Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым ? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут...
Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)
Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:
А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они.
Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.
Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:
Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:
a 1 = 12.
a 30 = 99.
S n = S 30 .
Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:
Ответ: 1665
Ещё один тип популярных задачек:
4. Дана арифметическая прогрессия:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.
Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула.
Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?)
Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S 1-19 , да сложим с суммой членов второй части S 20-34 , получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S 1-34 . Вот так:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Отсюда видно, что найти сумму S 20-34 можно простым вычитанием
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?
Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:
d = 1,5.
a 1 = -21,5.
Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:
a 19 = -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5
a 34 = -21,5 +(34-1)·1,5 = 28
Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Ответ: 262,5
Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S 20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S 1-19 . А уж потом определили и S 20-34 , отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.)
В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)
Практический совет:
При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.
Формулу n-го члена:
Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.
А теперь задачи для самостоятельного решения.
5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.
Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.
6. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.
Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.
7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?
Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.
Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию взяты из "Сборника задач для абитуриентов. Математика" изданного Волынским государственным университетом имени Леси Украинки в 2001 году. Внимательно ознакомьтесь с ответами и выберите для себя самое необходимое.
Группа А (уровень 1)
Пример 1.
Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; …
,
Решение:
Найдем разницу (шаг) прогрессии
d=a 2 -a 1 =22,4-21,3=1,1.
Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии
a 6 =a 1 +(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.
Пример 2.
Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20;
...
Решение:
Найдем знаменатель геометрической прогрессии
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
Вычисляем шестой член геометрической прогрессии
b 6 =b 1 q 6-1 =5*25=5*32=160.
Пример 3.
В арифметической прогрессии a 1 =2,1 a 10 =12,9
. Вычислить разницу прогрессии.
Решение:
Представим десятый член прогрессии в виде формулы
a 10 =a 1 +(10-1)d= a 1 +9d
.
Подставим известные значения и решим
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Ответ:
разница прогрессии d=1,2.
Пример 4.
В геометрической прогрессии b 1 =2,56; b 4 =4,42368.
Вычислить знаменатель прогрессии.
Решение:
Находим знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =4,42368/2,56=1,728.
Без калькулятора здесь не обойтись.
Ответ:
знаменатель прогрессии равен q=1,728.
Пример 5.
В арифметической прогрессии a 1 =20,1, d=1,3
. Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение:
Cуму арифметической прогрессии находим по формуле
Выполняем вычисления
S 8 =(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Ответ:
S 8 =197,2
.
Пример 6
. В геометрической прогрессии b 1 =1,5; q=1,2
. Вычислить сумму первых четырех членов прогрессии.
Решение:
Cуму геометрической прогрессии вычисляем по формуле
Находим сумму прогрессии
Ответ:
S 8 =8,052.
Пример 7
. В арифметической прогрессии a 1 =1,35 d=-2,4
. Вычислить номер члена прогрессии, равный -25,05.
Решение:
Член арифметической прогрессии находят по формуле
a n =a 1 +(n-1)d.
По условию задано все кроме порядкового номера известно, найдем его
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4)
;
Ответ:
n=12.
Пример 8.
Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; ...
Решение:
Поскольку в условии не задано какая прогрессия задана, то сначала нужно ето установить. Получите, что арифметическая
d=a 2 -a 1 =24,82-23,5=1,32;
d=a 3 -a 2 =26,14-24,82=1,32.
Находим седьмой член прогрессии
a 7 =a 1 +(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Ответ:
a 7 = 31,42.
Пример 9.
Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; ...
, равный 11,7
.
Решение:
Легко убедиться, что задана арифметическая прогрессия. Найдем разницу прогрессии
d=a 2 -a 1 =3,3-2,1=1,2.
По формуле члена прогрессии
a n =a 1 +(n-1)d
найдем номер
11,7=2,1+(n-1)*1,2;
Ответ:
n= 9
.
Пример 10.
Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; ...
.
Решение:
Без проверки можно сказать, что прогрессия - геометрическая. Найдем ее знаменатель
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,5=1,2.
Вычислим 4
член геометрической прогрессии по формуле
b 4 =b 1 q 3 =1,5*1,2 3 =2,592.
Ответ:
b 4 =2,592
.
Пример 11.
Вычислить номер члена прогрессии 1,2; 1,8; 2,16; ...
равный 4,05.
Решение:
Имеем геометрическую прогрессию. Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,2=1,5.
Найдем номер прогресии из зависимости
b n =b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5 n-1 ;
1,5 n-1 =4,05/1,2=3,375=1,5 3 ;
n-1=3; n=4.
Ответ:
n=4.
Пример 12.
В арифметической прогрессии a 5 =14,91 a 9 =20,11.
Вычислить a 1
.
Решение:
Выразим 9
член прогрессии через 5
a 9 = a 5 +(9-5)d
и найдем шаг прогрессии
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Выразим 5
член прогрессии через 1
и вычислим первый
a 5 = a 1 +4d;
14,91= a 1 +5,2;
a 1 =14,91-5,2=9,71.
Ответ:
a 1 =9,71.
Пример 13
. В арифметической прогрессии а 7 =12,01; a 11 =17,61.
Вычислить разницу прогрессии.
Решение:
Выразим 11
член прогрессии через 7
a 11 = a 7 +(11-7)d.
Отсюда вычислим шаг прогрессии
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Ответ:
d=1,4.
Пример 14.
В геометрической прогрессии b 5 =64; b 8 =1.
Вычислить b 3
.
Решение:
Выразим 8
член прогрессии через 5
b 8 = b 5 q 8-5 .
Отсюда находим знаменатель прогрессии
1=64 q 3 ;
q 3 =1/64=(1/4) 3 ;
q=1/4.
Подобным образом находим b 3
через b 5
b 3 = b 5 /q 2 =64*4 2 =1024.
Ответ:
b 3 =1024.
Пример 15.
В арифметической прогрессии а 9 +а 15 =14,8
. Вычислить а 12
Решение:
В этом примере следует учесть, что 12
член прогрессии находится посередине между 9
ее номером и 15
. Поэтому соседние члены прогрессии (9, 15
) можно выразить через 12
следующим образом
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
a 9 = a 12 -3d;
a 15 = a 12 +3d.
Просуммируем крайние члены прогрессии
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12
.
Отсюда находим 12
член прогрессии
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14,8/2=7,4.
Ответ:
a 12 =7,4.
Пример 16.
В геометрической прогрессии b 10 *b 14 =289.
Вычислить модуль 12
члена прогрессии | b 12 |.
Решение:
Алгоритм решении задачи содержится в предыдущем примере. Следует выразить 10
и 14
член геометрической прогрессии через 12
. По свойствам геометрической прогрессии получим
b 10 = b 12 /q 2 ; b 14 = b 12 *q 2 .
Легко заметить, что при их произведения знамениик прогрессии пропадает
b 10 * b 14 = (b 12) 2 =289=17 2 .
Отсюда находим модуль | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Ответ:
| b 12 |=17.
Пример 17.
В геометрической прогрессии b 8 =1,3.
Вычислить b 6 *b 10 .
Решение:
Схема вычислений аналогична предыдущему примеру - выражаем 6
и 10
член прогрессии через 8.
b 6 = b 8 /q 2 ; b 10 = b 8 *q 2 .
При их умножении знаменатели сокращаются и получим квадрат известного члена прогрессии
b 6 *b 10 = (b 8) 2 =1,3 2 =1,69.
Ответ:
b 6 *b 10 =1,69.
Пример 18.
В арифметической прогрессии а 10 =3,6: a 12 =8.
Вычислить а 8
Решение:
Запишем члены прогрессии в ряд а 8 , а 10 , a 12
. Между ними одинаковый шаг, найдем его
a 12 = a 10 +2d;
2d= a 12 - a 10 =8-3,6=4,4.
Таким же методом находим а 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d=3,6-4,4=-0,8.
Вот такие несложные расчеты.
Ответ:
a 8 =-0,8.
Пример 19.
В геометрической прогрессии b 14 =8; b 16 =2.
Вычислить b 12 .
Решение:
Опуская подробные объяснения, запишем произведение 14
и 16
члена прогрессии
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
Это равносильно среднему геометрическому. Найдя корень из произведения членов, получим искомое значение
(b 12) 2 =8*2=16; b 12 =4.
Ответ:
b 12 =4.
Пример 20.
В арифметической прогрессии а 5 =3,4; a 11 =6,9.
Вычислить а 17 .
Решение:
Между 5,11
и 17
членом прогрессии одинаковый шаг и он равен 6d
. Поэтому конечное решение можно записать в виде
а 17 = a 11 +6d= a 11 +(a 11 - а 5)=2*6,9-3,4=10,4.
Думаю, что Вы понимаете, почему такая запись. Если нет - попробуйте расписать 11
член прогрессии через 5
и виразить 6d
.
Ответ:
а 17 =10,4
.
Пример 21.
Вычислить 6-й член геометрической прогрессии 3; 12;...
.
Решение:
Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
Воспользуемся общей формуле члена геометрической прогрессии
b n = b 1 *q n-1 .
Отсюда получим
b 6 = b 1 *q 5 =b 2 *q 4 .
Как видите, главное в записи, чтобы сумма индекса (2) и степень (4) соответствовала порядковому номеру члена прогрессии (6). Выполняем вычисления
b 6 = 12*4 4 =12*256=3072.
Получили большое число, но геометрическая прогрессия тем и отличается, что ее члены или быстро растут, или - сходят.
Ответ:
b 6 =3072.
Пример 22.
В арифметической прогрессии а 3 =48; a 5 =42.
Вычислить а 7
.
Решение:
Так как разница прогрессии между заданными членами и искомым сталая и равна 2d
то формула 7
члена прогрессии будет выглядеть
а 7 = a 5 +2d= a 5 +(a 5 - а 3);
а 7 =2*42-48=36
.
Ответ:
а 7 =36.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретические сведения
Теоретические сведения
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Определение |
Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий) |
Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии) |
Рекуррентная формула |
Для любого натурального n
|
Для любого натурального n
|
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристическое свойство |  |
|
| Сумма n-первых членов |  |
 |
Примеры заданий с комментариями
Задание 1
В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d
По условию:
a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .
Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 2
Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....
1-й способ (с помощью формулы n -члена)
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .
Так как b 1 = -3,
2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Ответ : b 5 = -48.
Задание 3
В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.
Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид 
.
Из этого следует:
.
Подставим данные в формулу:
Ответ : 95.
Задание 4
В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.
Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
.
Какую из них в данном случае удобнее применять?
По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.
Ответ : 368.
Задание 5
В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .
По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 6
Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.
Подставив найденные значения в формулу, получим:
.
Ответ : .
Задание 7
Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:
Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
.
Ответ : 4.
Задание 8
В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.
