Свойства делимости. Натуральные числа

Никитина Елизавета

В данной работе учащаяся систематизировала свои знания по признакам делимости натуральных чисел и в дополнительной литературе нашла новые, привела много примеров их применения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Районный конкурс проектных, исследовательских

И творческих работ учащихся.

Образовательная область: естествознание.

Раздел: «Математика»

Исследовательская работа на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел »

Учащаяся 8 класса

Руководитель:

Цепилова Е. А.

Учитель математики.

2014г.

1. Введение

2. История делимости натуральных чисел

3. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 9, на 5, на 10, изучаемые в

школьном курсе математики.

4. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках.

5. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, полученные самостоятельно

7. Заключение.

1. Введение

Актуальность: При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» меня заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое. На занятиях элективного курса мы рассматривали некоторые другие признаки делимости натуральных чисел. Мне стало интересно, можно ли ещё самой получить новые признаки делимости? Так возникла тема моей исследовательской работы.

Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи:

1. Изучить историю появления признаков делимости.
2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.
3. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.
4. Получить самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
5. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
6. Сделать вывод.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Из истории .

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами и др.

Блез Паскаль

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

1. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b , b - делитель а , b делит а .

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

1. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в различных источниках.

Из дополнительной литературы я нашла подтверждение правильности сформулированных мной признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.

Рассмотрим несколько признаков делимости:

Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

153 4 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

182 4 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048 100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

1. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, полученные самостоятельно .

Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получил следующие признаки делимости.

25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ; …

Умножая натуральные числа на 4, я заметил, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное ч исло делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6 :

Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

125·8=1 000 ; 242·8=1 936 ; 512·8=4 096 ; 600·8=4 800 ; 1234·8=9 872 ; 122875·8=983 000 ;…

Умножая натуральное число на 8, я заметила такую закономерность, числа оканчиваются на три 0-ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков.

Натуральное ч исло делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры 0 или составляют число, делящееся на 8.

Заметим, что 15=3·5

Ели натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3),

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит , натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на 4, на 8, на 25.

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37.

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19.

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

6. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 6 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников .

Ответ : 29 шестиклассников; 7 учебников

Задача 2 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60: 15 = 4 – апельсина, 175: 15 = 11 – орехов и 225: 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 6.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

7. Заключение.

Выводы:

Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Список использованной литературы (источников):

1. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
4. Пельман Я.И. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
5. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
6. Ресурсы- Internet.

Отношение делимости. Если при делении с остатком натурального числа а на натуральное число b остаток равен 0, то говорят что а делится на b. В этом случае а называют кратным числа b, b называют делителем числа а.

Обозначение а:b

Запись символами (а,bN) (а:b)(сN) (а=вс).

Простое число. Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на единицу, т.е если у него только два делителя.

Составное число. Натуральное число называют составным, если у него более двух делителей.

• 1 не является ни простым, ни составным числом, т.к имеет только один делитель - себя.
• 2 - единственное четное простое число.

Свойства отношения делимости:

• 1. если а делится на b, то а?b.
• 2. рефлексивность, т.е. каждое натуральное число делится само на себя.
• 3. антисимметричность, т.е. если два числа не равны, и первое из них делится на второе, то второе не делится на первое.
• 4. транзитивность, т.е. если первое число делится на второе число, второе число делится на третье число, то первое число делится на третье число.

Отношение делимости на N - это отношение частичного нестрогого порядка. Порядок частичный, т.к. есть такие пары разных натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.

Признак делимости суммы на число. Если каждое слагаемое суммы делится на число, то вся сумма делится на это число (для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если каждое слагаемое не делится на число, то вся сумма может делиться на это число.

Признак делимости разности на число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число и уменьшаемое больше вычитаемого, то разность делится на это число (для того чтобы разность делилась на число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычитаемое делились на это число, при условии, что эта разность положительна). Этот признак не является необходимым, т.е. уменьшаемое и вычитаемое могут не делиться на число, а их разность может делиться на это число.

Признак неделимости суммы на число. Если все слагаемые суммы, кроме одного, делятся на число, то сумма не делится на это число.

Признак делимости произведения на число. Если хотя бы один множитель в произведении делится на число, то произведение делится на это число (для того чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы один множитель в произведении делился на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если ни один множитель в произведении не делится на число, то произведение может делиться на это число.

Признак делимости произведения на произведение. Если число а делится на число b, число с делится на число d, то произведение чисел а и с делится на произведение чисел b и d. Этот признак не является необходимым.

Признак делимости натуральных чисел на 2. Чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости натуральных чисел на 5. Чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5.

Признак делимости натуральных чисел на 4. Чтобы натуральное число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 00 или две последние цифры в десятичной записи этого числа образовывали двузначное число, кратное 4.

Признак делимости натуральных чисел на 3. Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 3.

Признак делимости натуральных чисел на 9. Чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 9.

Общий делитель натуральных чисел а и в - это натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Наибольший общий делитель натуральных чисел а и в- это наибольшее натуральное число из всех общих делителей этих чисел.

Обозначение НОД (а, в)

Свойства НОД (а, в):

• 1. всегда существует и только один.
• 2. не превосходит меньшего из а и в.
• 3. делится на любой общий делитель а и в.

Общее кратное натуральных чисел а и в - это натуральное число, кратное каждому из этих чисел.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и в - это наименьшее натуральное число из всех общих кратных этих чисел.

Обозначение НОК (а, в)

Свойства НОК (а, в):

• 1. всегда существует и только одно.
• 2. не меньше большего из а и в.
• 3. любое общее кратное а и в делится на него.

Взаимно простые числа. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1, т.е. НОД (а, в)=1.

Признак делимости на составное число. Чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы число а делилось на каждое из них.

• 1. Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.
• 2. Чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.

Разложение числа на простые множители- это представление этого числа в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Алгоритм нахождения НОД:

Записать произведение общих для данных чисел простых множителей, причем каждый множитель записать с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОД данных чисел.

Алгоритм нахождения НОК:

Разложить каждое число на простые множители.

Записать произведение всех простых множителей из разложений, причем каждый из них записать с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОК данных чисел.

Множество положительных рациональных чисел

Дробь. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , который состоит из n отрезков, равных e .

Если отрезок а состоит из m отрезков, равных e . то его длина может быть представлена в виде

Символ называют дробью ; m, n - натуральные числа; m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. n показывает, на сколько равных частей разделена единица измерения; m показывает, сколько таких частей содержится в отрезке a.

Равные дроби. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка в одной единице измерения, называют равными.

Признак равенства дробей.

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Сокращение дроби - это замена данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, т.е. их НОД равен единице.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей другими, равными им с равными знаменателями.

Положительное рациональное число - это бесконечное множество разных по написанию, но равных между собой дробей; каждая дробь этого множества есть форма записи этого положительного рационального числа.

Равные положительные рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны равными дробями.

Сумма положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a b представлено дробью, то их суммой с , представленное дробью.

Переместительное свойство сложения. От перемены мест слагаемых, значение суммы не меняется.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Существование суммы и её единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их сумма всегда существует и причем единственна.

Правильная дробь - дробь. числитель которой меньше знаменателя.

Неправильная дробь - дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему.

Неправильную дробь можно записать в виде натурального числа или в виде смешанной дроби.

Смешанная дробь - это сумма натурального числа и правильной дроби (принято записывать без знака сложения).

Отношение «меньше» на Q . Положительное рациональное число b меньше положительного рационального числа a, если существует положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Свойства отношения «меньше».

• 1. Антирефлексивность. Ни одно число не может быть меньше самого себя.
• 2. Антисимметричность. Если первое число меньше второго, то второе не может быть меньше первого.
• 3. Транзитивность. Если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число меньше третьего.
• 4. Связанность. Если два числа не равны, то либо первое меньше второго, либо второе меньше первого.

Отношение «меньше» на Q - это отношение строгого линейного порядка.

Разность положительных рациональных чисел. Разностью положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Существование разности. Разность чисел a и b существует тогда и только тогда, когда b меньше a .

Если разность существует, то она единственная.

Произведение положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a представлено дробью, положительное рациональное число b представлено дробью, то их произведением называется положительное рациональное число с , представленное дробью.

Существование произведения и его единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их произведение всегда существует и причем единственно.

Переместительное свойство умножения. От перемены мест сомножителей значение произведения не меняется.

Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Частное положительных рациональных чисел. Частным положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c, которое при умножении на b дает a .

Существование частного. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b , их частное всегда существует и причем единственное.

Множество Q и его свойства.

• 1. Q линейно упорядоченно с помощью отношения «меньше».
• 2. В Q нет наименьшего числа.
• 3. В Q нет наибольшего числа.
• 4. Q бесконечное множество.
• 5. Q плотно в себе, т.е. меду любыми двумя разными положительными рациональными числами заключено бесконечное множество положительных рациональных чисел.

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Десятичная дробь - это дробь вида m/n , где m и n - натуральные числа.

Виды десятичных дробей. Конечные, бесконечные, периодические (чисто периодические и смешанно периодические), непериодические.

Конечная десятичная дробь - это дробь. в которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная периодическая десятичная дробь - это дробь, которая получается бесконечным повторением одной и той же группой цифр, начиная с некоторого номера, а повторяющаяся группа цифр называется её периодом.

Чисто периодические и смешанно периодические дроби. Если период дроби начинается сразу после запятой, то эта дробь называется чисто периодической. Если между запятой и началом периода есть несколько цифр, то дробь называется смешано периодической.

Теорема. Любое положительное рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Для перевода надо числитель делить на знаменатель в столбик. При делении получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая.

Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную. Отбросить запятую, полученное число записать в числитель, а в знаменатель записать столько нулей после единицы, сколько цифр было после запятой.

Перевод чисто периодической дроби в обыкновенную. Период дроби записать в числитель, а в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде.

Перевод смешанно периодической дроби в обыкновенную. В числитель записать разность между числом, стоящим между запятой и второй скобкой, и числом, стоящим между запятой и первой скобкой; в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей после них, сколько цифр между запятой и первой скобкой.

Теорема. Чтобы несократимую дробь можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5.

• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
• Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
• Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители . Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2 . Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2 . Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2 . Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2 , получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=2 4 ∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3 , его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5 , поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5 , под ним ставим число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙5 2 .

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5 , поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5 . тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2 , получаем 2, делим на 2 , остается 1. Результат: 80=2 4 ∙5.

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5 . Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2 , записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2 , а затем полученное число 3 делим на 3 , получив в результате число 1. Результат: 120=2 3 ∙3∙5.

Страница 1 из 1 1

Материалом этой статьи начинается теория делимости целых чисел . Здесь мы введем понятие делимости и укажем принятые термины и обозначения. Это нам позволит перечислить и обосновать основные свойства делимости.

Навигация по странице.

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости и в частных случаях - о делимости . Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b , которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q ), что справедливо равенство a=b·q . В этом случае также говорят, что b делит a . При этом целое число b называется делителем числа a , целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным .

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело . Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство a=b·q . В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к .

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Любое целое число a делится на число a , на число −a , a , на единицу и на число −1 .

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a , из которых следует, что a делится на a , причем частное равно единице, и что a делится на 1 , причем частное равно a . Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует делимость a на число, противоположное числу a , а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b .

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b , то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q , где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a , отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a , отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q , где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0 .

Если целое число a делится на целое число b и a меньше модуля числа b , то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0 .

Доказательство.

Так как a делится на b , то существует целое число q , при котором верно равенство a=b·q . Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0 , что и требовалось доказать.

Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b , то модуль числа a не меньше модуля числа b . То есть, если a≠0 и ab , то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.

Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1 .

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1 . Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1) .

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b , отличное от 1 и −1 , является делителем единицы. Так как единица делится на b , то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1 , 0 , и −1 . Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1 , то остается лишь b=0 . Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1 , не являются делителями единицы.

Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b .

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b , тогда существует такое целое число q , что a=b·q . Тогда . Так как является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b .

Теперь достаточность.

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b , тогда существует такое целое число q , что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q , которое доказывает делимость a на b . Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q , которое можно переписать как a=b·q . Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q , это равенство равносильно равенству a=b·(−q) . Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q , и a=b·(−q) . Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b .

Следствие 1.

Если целое число a делится на целое число b , то a также делится на число −b , противоположное числу b .

Следствие 2.

Если целое число a делится на целое число b , то и −a делится на b .

Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить - теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m , а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b , то a делится на b . То есть, если am и mb , то ab .

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m , то существует некоторое целое число a 1 такое, что a=m·a 1 . Аналогично, так как m делится на b , то существует некоторое целое число m 1 такое, что m=b·m 1 . Тогда a=m·a 1 =(b·m 1)·a 1 =b·(m 1 ·a 1) . Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m 1 ·a 1 - это некоторое целое число. Обозначив его q , приходим к равенству a=b·q , которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a , то равны либо целые числа a и b , либо числа a и −b .

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q 1 и q 2 таких, что a=b·q 1 и b=a·q 2 . Подставив во второе равенство b·q 1 вместо a , или подставив в первое равенство a·q 2 вместо b , получим, что q 1 ·q 2 =1 , а учитывая, что q 1 и q 2 – целые, это возможно лишь при q 1 =q 2 =1 или при q 1 =q 2 =−1 . Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a ).

Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a , не равное b , которое делится на b .

Таким числом будет любое из чисел a=b·q , где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c , то сумма a+b также делится на c .

Так как a и b делятся на c , то можно записать a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a+b=c·q 1 +c·q 2 =c·(q 1 +q 2) (последний переход возможен в силу ). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q 1 +q 2) доказывает делимость суммы a+b на c .

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите ), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c , то разность a−b также делится на с .

Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s . Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k , где k – произвольное целое число, делится на b .

Так как a делится на b , то справедливо равенство a=b·q , где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу ). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b .

Следствие: если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k 1 ·k 2 ·…·k n , где k 1 , k 2 , …, k n – некоторые целые числа, делится на b .

Если целые числа a и b делятся на c , то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v , где u и v – произвольные целые числа, делится на c .

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a·u+b·v=(c·q 1)·u+(c·q 2)·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) . Так как сумма q 1 ·u+q 2 ·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c .

На этом закончим обзор основных свойств делимости.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.