Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 1).
Основные элементы треугольника abc
Вершины – точки A, B, и C;
Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;
Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.
Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).
Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника
Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы исредние линии.
Высота
Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.
Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.
Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).
Свойства высот треугольника
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.
Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
Медиана
Медианы (от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).
Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.
Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).
Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.
Свойства биссектрис треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Средний уровень
Биссектриса треугольника. Подробная теория с примерами (2019)
Биссектриса треугольника и ее свойства
Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже. А что такое середина угла? Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно - только не точкой, а…. линией.
Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:
Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ГИА и ЕГЭ!
Первое знание, которое поможет в этом - биссектриса равнобедренного треугольника.
Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.
Итак, основание равнобедренного треугольника - это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно - это сторона.
Медиана - это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова) пополам.
Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.
Ну, а высота - это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.
Итак, разобрались? Ну почти. Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга. При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком». Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.
Итак, в чем они похожи ? Биссектриса, медиана и высота - все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной. По-моему просто, нет?
А чем они отличаются ?
- Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
- Медиана делит противоположную сторону пополам.
- Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.
Теперь все. Понять - легко. А раз понял, можешь запомнить.
Теперь следующий вопрос. Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?
Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана разбивает на два абсолютно равных треугольника. Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать. Страшное слово? Ничего подобного - все просто! Смотри: у и равны стороны и, сторона у них вообще общая и. (- биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними. Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему ) и заключаем, что, а значит = и.
Это уже хорошо - значит, оказалась медианой.
А вот что такое?
Посмотрим на картинку - . А у нас получилось, что. Значит, и тоже! Наконец, ура! и.
Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку - два одинаковых треугольника говорят сами за себя.
В любом случае твердо запомни:
Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:
Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ?
Применим этот потрясающий факт.
С одной стороны, из:
То есть.
Теперь посмотрим на:
Но биссектрисы, биссектрисы же!
Вспомним про:
Теперь через буквы
\angle AOC=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}
Не удивительно ли? Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла !
Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три??!! Пересекутся ли они все в одной точке?
Или будет так?
Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:
Правда, здорово?
Хочешь знать, почему же так получается?
Итак…два прямоугольных треугольника: и. У них:
- Общая гипотенуза.
- (потому что - биссектриса!)
Значит, - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников - равны! То есть.
Доказали, что точка одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.
Почему же верно 2?
И соединим точки и.
Значит, то есть лежит на биссектрисе!
Вот и всё!
Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.
То быстро соображаешь, что
И можно пользоваться равенством.
3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке
Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:
Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?
А третья биссектриса могла бы пройти так:
Но на самом деле-то всё гораздо лучше!
Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её .
Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1 , конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.
Вот и получилось и.
Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что и, значит, .
А вот теперь в дело пойдёт пункт 2 : если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:
и - расстояния до сторон угла, и они равны, значит, точка лежит на биссектрисе угла. Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -
Радиусы вписанной окружности.
(Для верности посмотри ещё тему ).
Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:
Точка пересечения биссектрис треугольника - центр вписанной в неё окружности.
Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.
4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов
Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,
Случай 1
Здорово, правда? Давай поймём, почему так.
С одной стороны, - мы же проводим биссектрису!
Но, с другой стороны, - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему ).
И теперь выходит, что; выкидываем середину: ! - равнобедренный!
Случай 2
Представь треугольник (или посмотри на картинку)
Давай продолжим сторону за точку. Теперь получилось два угла:
- - внутренний угол
- - внешний угол - он же снаружи, верно?
Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для, и для. Что же получится?
А получится прямоугольный!
Удивительно, но это именно так.
Разбираемся.
Как ты думаешь, чему равна сумма?
Конечно же, - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая.
А теперь вспомним, что и -биссектрисы и увидим, что внутри угла находится ровно половина от суммы всех четырех углов: и - - то есть ровно. Можно написать и уравнением:
Итак, невероятно, но факт:
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен.
Случай 3
Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?
Или ещё раз подумаем, почему так получается?
Снова, как и для смежных углов,
(как соответственные при параллельных основаниях).
И опять, составляют ровно половину от суммы
Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.
5. Биссектриса и противоположная сторона
Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:
То есть:
Удивительный факт, не правда ли?
Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.
Снова - выход в «космос» - дополнительное построение!
Проведём прямую.
Зачем? Сейчас увидим.
Продолжим биссектрису до пересечения с прямой.
Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 - получается, что (- биссектриса)
Как накрест лежащие
Значит, - это тоже.
А теперь посмотрим на треугольники и.
Что про них можно сказать?
Они…подобны. Ну да, у них и углы равны как вертикальные. Значит, по двум углам.
Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.
А теперь в коротких обозначениях:
Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!
Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой - без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что
Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника - не пугайся, теперь самое сложное кончилось - будет проще.
Получаем, что
Теорема 1:
Теорема 2:
Теорема 3:
Теорема 4:
Теорема 5:
Теорема 6:
Внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р
пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта
точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе
угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе
угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит
третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р
пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис
внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9 .
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на
части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС
и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную
биссектрисе ВК, до пересечения в точке Мпродолжением стороны АВ.
Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠
АВК=∠
КВС.
Далее, ∠
АВК=∠
ВМС,
как соответственные углы при
параллельных прямых, и ∠
КВС=∠
ВСМ,
как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠
ВСМ=∠
ВМС,
и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о
параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:К
С=АВ:ВМ=АВ:ВС,
что и требовалось доказать.
Теорема 10
Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным
свойством: отрезки AL
и CL
от вершины А и С до точки L
пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС
пропорциональны сторонам треугольника: AL
:CL
=AB
:BC
.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на
рисунке проведена
вспомогательная прямая СМ,
параллельная биссектрисе BL
.
Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из
чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.
Теорема d4.
(первая формула для биссектрисы): Если в
треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? =
AB·AC - LB·LC.
Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · (AL + LM) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность .
Теорема d5.
(вторая формула для биссектрисы): В треугольнике
ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет
место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.
Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорема доказана.
Сорокина Вика
Приведено доказательства свойств биссектрисы треугольника и рассмотрено применение теориик решению задач
Скачать:
Предварительный просмотр:
Комитет по образованию администрации г. Саратова, Октябрьский район Муниципальное автономное образовательное учреждение Лицей №3 им. А. С. Пушкина.
Муниципальная научно-практическая
конференция
«Первые ступени»
Тема: Биссектриса и ее свойства.
Работу выполнила: ученица 8 г класса
Сорокина Виктория Научный руководитель: Учитель математики высшей категории Попова Нина Федоровна.
Саратов 2011 г
- Титульный лист…………………………………………………………...1
- Содержание ………………………………………………………………2
- Введение и цели………………………………………………………... ..3
- Рассмотрение свойств биссектрисы
- Третье геометрическое место точек………………………………….3
- Теорема 1……………………………………………………………....4
- Теорема 2………………………………………………………………4
- Основное свойство биссектрисы треугольника:
- Теорема 3……………………………………………………………...4
- Задача 1…………………………………………………………… ….7
- Задача 2……………………………………………………………….8
- Задача 3…………………………………………………………….....9
- Задача 4…………………………………………………………….9-10
- Теорема 4…………………………………………………………10-11
- Формулы нахождения биссектрисы:
- Теорема 5…………………………………………………………….11
- Теорема 6…………………………………………………………….11
- Теорема 7…………………………………………………………….12
- Задача 5…………………………………………………………...12-13
- Теорема 8…………………………………………………………….13
- Задача 6………………………………………………………...…….14
- Задача 7……………………………………………………………14-15
- Определение с помощью биссектрисы сторон света………………15
- Заключение и вывод……………………………………………………..15
- Список используемой литературы ……………………………………..16
Биссектриса
На уроке геометрии, изучая тему подобные треугольники, я встретилась с задачей на теорему об отношении биссектрисы к противолежащим сторонам. Казалось бы, что может быть интересного в теме биссектриса, однако эта тема меня заинтересовала, и мне захотелось изучить ее глубже. Ведь биссектриса очень богата своими удивительными свойствами, помогающими решать разные задачи.
При рассмотрении данной темы можно заметить,что в учебниках геометрии очень мало говорится о свойствах биссектрисы, а на экзаменах, зная их можно значительно проще и быстрее решать задачи. К тому же для сдачи ГИА и ЕГЭ современным ученикам нужно самим изучать дополнительные материалы к школьной программе. Именно поэтому я и решила подробнее изучить тему биссектриса.
Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла - луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части. Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек равноудалённых от сторон угла (или их продолжений )
Третье геометрическое место точек
Фигура F является геометрическим местом точек (множеством точек), обладающих некоторым свойством А, если выполняются два условия:
- из того, что точка принадлежит фигуре F, следует, что она обладает свойством А;
- из того, что точка удовлетворяет свойству А, следует, что она принадлежит фигуре F.
Первое геометрическое место точек, рассматриваемое в геометрии - это окружность, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки. Второе - серединный перпендикуляр отрезка, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от конца отрезка. И, наконец, третье - биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла
Теорема 1:
Точки биссектрисы одинаково удалены от стор он угла.
Доказательство:
Пусть Р - точка биссектрисы А. Опустим из точки Р перпендикуляры РВ и PC на стороны угла . Тогда ВАР = САР по гипотенузе и острому углу . Отсюда, РВ = PC
Теорема 2 :
Если точка Р одинаково удалена от сторон угла А, то она лежит на биссектрисе .
Доказательство: РВ = PC => ВАР = САP => BAP= CAP => АР – биссектриса.
К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о том, что биссектриса делит противолежащую сторону в отношении противолежащих сторон. Этот факт долго оставался в тени но повсеместно встречаются задачи, которые гораздо легче решать, если знать этот и другие факты о биссектрисе. Мне стало интересно, и я решила глубже исследовать это свойство биссектрисы.
Основное свойство биссектрисы угла треугольника
Теорема 3 . Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника в отношении прилежащих сторон .
Доказательство 1:
Дано : AL - биссектриса треугольника ABC
Доказать:
Доказательство: Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.
Тогда BFA = FАС = BAF. Следовательно, BAF равнобедренный и АВ = BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем
соотношение
откуда
Доказательство 2
Пусть F- точка пересеченная прямой AL и прямой, проходящей через точку С параллельно основанию АВ. Тогда можно повторить рассуждения.
Доказательство 3
Пусть К и М - основания перпендикуляров, опущенных на прямую
AL
из точек
В и С
соответственно. Треугольники ABL и ACL подобны по двум углам. Поэтому
. А из подобия
BKL и
CML имеем
Отсюда
Доказательство 4
Применим метод площадей. Вычислим площади треугольников ABL и ACL двумя способами.
Отсюда .
Доказательство 5
Пусть α= ВАС,φ= BLA. По теореме синусов в треугольнике ABL
А в треугольнике ACL .
Так как ,
То, поделив обе части равенства на соответствующие части другого, получим .
Задача 1
Дано:
В треугольнике ABC, ВК – биссектриса, ВС=2, КС=1,
Решение:
Задача 2
Дано:
Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18
Решение:
Пусть катет AC = 18, катет BC = 24,
AM - биссектриса треугольника.
По теореме Пифагора находим,
что AB = 30.
Поскольку , то
Аналогично найдем вторую биссектрису.
Ответ:
Задача 3
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC
В точке D . Известно, что BD = 4, DC = 6.
Найдите площадь треугольника ADC
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника
Обозначим AB = 2 x , AC = 3 x . По теореме
Пифагора BC 2 + AB 2 = AC 2 , или 100 + 4 x 2 = 9 x 2
Отсюда находим, что x = Тогда AB = , S ABC=
Следовательно,
Задача 4
Дано:
В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 10, основание AC равно 12.
Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке D . Найдите BD .
Решение:
Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в
Одной точке, то BD - биссектриса B . Продолжим BD до пересечения с AC в точке M . Тогда M - середина AC , BM AC . Поэтому
Поскольку CD - биссектриса треугольника BMC , то
Следовательно,.
Ответ:
Теорема 4 . Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Формулы нахождения биссектрисы
Теорема5:
(первая формула для биссектрисы
): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой
A, то
AL² = AB·AC - LB·LC.
Доказательство:
Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать.
Теорема6:
.
(вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и
A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cosα.
Доказательство : Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса, a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα·cosα = (a + b)·l sinα l = 2·(ab / (a+b))· cosα. Теорема доказана.
Теорема 7: Если a,b – стороны треугольника,Ү- угол между ними, - биссектриса этого угла. Тогда .
Инструкция
Если заданный треугольник равнобедренным или правильным, то есть у него
две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника
, будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая будет делиться биссектрисой пополам.
Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника , куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.
Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника .
Источники:
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.
Вам понадобится
- Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе
Инструкция
Постройте треугольник необходимой и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.
Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими А, В и С. Вершины углов обозначают , противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами?,? и?
По теоремам синусов и косинусов вычислите углов и сторон треугольника .
Вспомните биссектрисы. Биссектриса - , делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую на два отрезка, которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника .
Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.
Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.
Полезный совет
Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.
Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.
Вам понадобится
- циркуль, карандаш, линейка.
Инструкция
Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй . У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла - примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.
Видео по теме
Полезный совет
Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.
При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.
Инструкция
Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
Для обозначения углов используйте три : одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.
Встречаются ситуации, когда необходимо угол , чтобы он был уже данному углу. Если при построении использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, с линией MN угол , который будет равен углу В.
В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.
Сейчас постройте на прямой MN такой же треугол ьник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем . Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугол ьник КPL, который будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.
Видео по теме
Совет 5: Как построить треугольник по двум сторонам и медиане
Треугольник - это простейшая геометрическая фигура, имеющая три вершины, попарно соединенные между собой отрезками, которые образуют стороны этого многоугольника. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.
Инструкция
Проведите из точки A отрезок, длина которого одной из известных сторон треугольника (a). Точку окончания этого отрезка обозначьте буквой B. После этого одну из сторон (AB) искомого треугольника уже можно считать построенной.
Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным удвоенной длине медианы (2∗m), и с центром в точке A.
Начертите с помощью циркуля вторую окружность с радиусом, равным длине известной стороны (b), и с центром в точке B. Отложите на время циркуль, но оставьте на нем отмеренный - он вам снова понадобится немного позже.
Постройте отрезок, соединяющий точку A с точкой пересечения двух нарисованных вами . Половина этого отрезка будет , который вы строите - отмерьте эту половину и поставьте точку M. На этот момент у вас есть одна сторона искомого треугольника (AB) и его медиана (AM).
Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке A.
Проведите отрезок, который должен начинаться в точке B, проходить через точку M и заканчиваться в точке пересечения прямой с проведенной вами на предыдущем шаге окружностью. Обозначьте точку пересечения буквой C. Теперь в искомом построена и неизвестная по условиям задачи сторона BC.
Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.
Все в школе учили шуточное про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.
С помощью транспортира
Самый простой способ проведения биссектрисы - с использованием прибора для . Нужно приложить транспортир к одной стороне угла, совместив точку отсчета с его острием О. Затем замерить величину угла в градусах или радианах и разделить ее на два. Отложить с помощью того же транспортира полученные градусы от одной из сторон и провести прямую линию, которая и станет биссектрисой, до точки начала угла О.С помощью циркуля
Нужно взять циркуль и развести его на любой произвольный размер (в пределах чертежа). Установив острие в точке начала угла О, начертить дугу, пересекающую лучи, отметив на них две точки. Обозначают их А1 и А2. Затем, устанавливая циркуль поочередно в эти точки, следует провести две окружности одинакового произвольного диаметра (в масштабе чертежа). Точки их пересечения обозначаются С и В. Далее необходимо провести прямую линию через точки О, С и В, которая и будет искомой биссектрисой.С помощью линейки
Для того чтобы начертить биссектрису угла с помощью линейки, нужно отложить от точки О на лучах (сторонах) отрезки одинаковой длины и обозначить их точками А и В. Затем следует соединить их прямой линией и с помощью линейки разделить получившийся отрезок пополам, обозначив точку С. Биссектриса получится, если провести прямую через точки С и О.Без инструментов
Если нет измерительных инструментов, можно воспользоваться смекалкой. Достаточно просто начертить угол на кальке или обычной нетолстой бумаге и аккуратно сложить листок так, чтобы лучи угла совместились. Линия сгиба на чертеже и будет искомой биссектрисой.Развернутый угол
Угол больше 180 градусов можно разделить биссектрисой такими же способами. Только делить надо будет не его, а прилежащий к нему острый угол, оставшийся от окружности. Продолжение найденной биссектрисы и станет искомой прямой, делящей развернутый угол пополам.Углы в треугольнике
Следует помнить, что в равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Поэтому в нем биссектрису можно найти, просто опустив перпендикуляр на противоположную от угла сторону (высота) или разделив эту сторону пополам и соединив точку середины с противоположным углом (медиана).Видео по теме
Мнемоническое правило «биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит их пополам» описывает суть понятия, но не дает рекомендаций по построению биссектрисы. Чтобы ее начертить, кроме правила вам понадобится циркуль и линейка.
Инструкция
Допустим, что вам нужно построить биссектрису угла A. Возьмите циркуль, поставьте его острием в точку A ( угла) и начертите окружность любого . Там, где она пересечет стороны угла, поставьте точки B и C.
Замерьте радиус первой окружности. Начертите еще одну, с таким же радиусом, поставив циркуль в точку B.
Проведите следующую окружность (по размеру равную предыдущим) с центром в точке C.
Все три окружности должны пересечься в одной точке – назовем ее F. С помощью линейки проведите луч, проходящий через точки A и F. Это и будет искомая биссектриса угла A.
Существует несколько правил, помогут вам в нахождении . Например, она противоположную в , равном отношению двух прилежащих сторон. В равнобедренном
