Правильная четырехугольная пирамида может быть наклоненной. Основные свойства правильной пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
• боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
• боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
• высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
• основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
• кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых граней имеют равную длину;
• площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

Простейшая пирамида.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Дано: PA1A2…An – правильная пирамида Док - ть: 1) А1Р = А2Р = … = АnР 2) ?А1А2Р = ?А2А3Р = … = = ?Аn-1АnР – р/б.

Геометрия 10 класс

«Пирамида 10 класс» - А2. Содержание. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой. Основание. Урок математики в 10 классе по теме «Пирамида». Аn. Вершина пирамиды. МБОУ «СОШ№22 с углубленным изучением английского языка» г.Нижнекамска РТ. А. А3. А1. C.

«Параллелепипед 10 класс» - Смежные грани. C1. Геометрия 10 класс. A1. C. D1. D. Противоположные грани. № 76. Докажите, что AC II A1C1 и BD II B1D1.

«Векторы геометрия 10 класс» - Вектора. Векторы в пространстве. Геометрия 10 класс. CB CM. Шагаева Анна Борисовна МОУ «Барагашская СОШ». Действия с векторами. Вырази вектор. Сумма векторов. Ас аn am. Вектор – как направленный отрезок.

«Сечения параллелепипеда» - 4. ? MNK- сечение параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Урок - практикум в 10 классе Учитель математики Швенк А.В. (MNK) ? (ADD’A’) = MN. (MNK) ? (A’B’C’D’) = NK. Сечения парллелепипеда. Задачи урока. Секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по параллельным отрезкам. Сечения параллелепипеда.

«Вектор в геометрии» - Вычитание векторов. Сложение и вычитание векторов. Правило параллелограмма. Такой вектор называется нулевым. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. На рис. 2 , т.к. и, а, т.к. . - векторы считаются сонаправленными. - векторы противоположно направлены.

Нам хорошо известны великие египетские пирамиды, каждый может представить себе, как они выглядят. Это представление и поможет нам разобраться в особенностях такой геометрической фигуры, как пирамида.

Пирамида – это многогранник, состоящий из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. На рис. 1 изображена пирамида SABCD. Четырёхугольник ABCD – основание пирамиды, точка S – вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD – рёбра пирамиды.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рис. 1 SO – высота пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник. На рисунке 1 изображена четырёхугольная пирамида. Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Боковые рёбра у правильной пирамиды равны, а, следовательно, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В правильной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой.

Пирамида обладает рядом свойств.

Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, и, наоборот, если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Рассмотрим формулы для нахождения объёма, площади поверхности пирамиды.

Объём пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

где S – площадь основания, а h – высота.

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, необходимо воспользоваться формулой:

S p = S b + S o ,

где S p – площадь полной поверхности, S b – площадь боковой поверхности, S o – площадь основания.

Усечённой пирамида – это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Грани усечённой пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усечённой пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основаниями усечённой пирамиды являются подобные многоугольники, боковыми гранями – трапеции. Усечённая пирамида, которая получается из правильной пирамиды, называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усечённой трапеции представляют собой равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Видеоурок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

Видеоурок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды .

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

• Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
• Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
• При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

• Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
• Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
• Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
• S бп = 0,5P oc H.
• Виды пирамиды.
• В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным , а второй реберным . К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте