Ряды фурье и их применение в технике связи. Ряды фурье

Транскрипт

1 Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004

2 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие для студентов -го курса). МФТИ. М., с. В соответствии с программой кафедры высшей математики МФТИ излагаются начальные сведения по теории тригонометрических рядов Фурье, теоремы о сходимости и равномерной сходимости рядов Фурье, теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. В центре внимания вопросы равномерной сходимости ряда Фурье. В отличие от многих курсов математического анализа, равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочногладкой функции доказывается с неулучшаемой оценкой скорости сходимости ряда Фурье. Зависимость скорости сходимости ряда Фурье функции от ее гладкости также устанавливается вместе с точными оценками. c Московский физико-технический институт, 004 c О.В.Бесов, 004

3 Содержание 3 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Сходимость ряда Фурье Равномерная сходимость ряда Фурье Приближение непрерывных функций многочленами Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Заключительное замечание

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Определение 1.1. Ряд вида a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) называется тригонометрическим рядом. Множество функций 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функция является ортогональной системой в том смысле, что Кроме того, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Лемма 1.1. Пусть sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 5 и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на [, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Домножим равенство 1.1) почленно на cos nx или sin nx n N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функций системы дает fx) cos nx dx = fx) sin nx dx = a n cos nx dx = πa n, b n sin nx dx = πb n, откуда получаем вторую и третью формулы из 1.). Первая из формул 1.) получается почленным интегрированием ряда 1.1). Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси π-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда если этот ряд сходится) также является π-периодической функцией. Определение 1.. Пусть f π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке [, π]. Тригонометрический ряд с коэффициентами a k, b k, определенными формулами 1.), называется тригонометрическим) рядом Фурье функции f, а коэффициенты a k, b k коэффициентами ряда Фурье функции f.

6 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье В этом случае пишут fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) понимая под такой записью, что функции f поставлен в соответствие ее ряд Фурье. Лемму 1.1 можно переформулировать так: равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Упражнение 1.1. Показать, что тригонометрический ряд sin kx k 1+ε, ε > 0, является рядом Фурье. Заметим, что если π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на каком-либо отрезке длины π, то она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом отрезке и при этом b+π a+π fx) dx = fx) dx. b Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффициенты Фурье π-периодической функции f можно вычислять, заменив в формулах 1.) интеграл по отрезку [, π] на интеграл по любому отрезку . С другой стороны, каждую заданную на абсолютно интегрируемую функцию можно изменив при необходимости ее значение в точке a π или в точке a + π, или и в той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси π-периодической функции. При этом изменение ее значения в одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее πпериодического продолжения 1.), а значит, и ряда Фурье 1.3). Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно изучать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной π, например, на [, π]. a

7 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 7 Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином смысле к функции f. В этом случае говорят, что функция f разложена в ряд Фурье. Теорема 1.1 Римана об осцилляции). Пусть функция f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале a, b). Тогда lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что a, b) =, +) если это не так, то функцию f можно доопределить нулем на, +) \ a, b)). Известно, что всякая абсолютно интегрируемая на,) функция f является непрерывной по сдвигу в среднем, т.е. + fx + h) fx) dx 0 при h) Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем непрерывной финитной функцией. Заменив переменную x на x + π λ, получаем: Iλ) + В силу 1.4) Iλ) 1 fx) cos λx dx = + f = x + π) λ f [ f x + π) cos λx dx = λ x + π) ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Для интеграла + fx) sin λx dx доказательство аналогично.

8 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Следствие 1. Коэффициенты Фурье 1.) абсолютно интегрируемой на отрезке [, π] функции стремятся к нулю при k. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Частичная сумма ряда Фурье S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx называется суммой ряда Фурье порядка n N 0 функции f. Приведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших исследований. Назовем ядром Дирихле функцию D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Последнее равенство правая часть понимается при x = = mπ, m Z, как предел частного при x mπ) устанавливается следующим образом. При x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Ядро Дирихле 1.5) является, очевидно, π-периодической, четной, непрерывной функцией, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 9 Преобразуем сумму Фурье S n x; f), подставив в нее вместо коэффициентов Фурье их выражения 1.). Получим S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Произведя в последнем интеграле называемом интегралом Дирихле) замену переменной t на t+x и сдвиг отрезка интегрирования, получим S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как функция t. Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению.

10 10 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 1. принцип локализации). Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], x 0 R, 0 < δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

11 . Сходимость ряда Фурье. 11 точка f в частности, если f непрерывна в точке x 0), то ряд Фурье в точке x 0 сходится к fx 0). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x 0 почти регулярная точка функции f. Из формулы 1.8) с помощью 1.6) получаем S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Дробь t sin t, доопределенная единицей при t = 0, является непрерывной на функцией. Дробь fx 0 + t) fx 0 + 0) t является абсолютно интегрируемой на функцией, поскольку таковой является ее числитель, и при t 0+0 она имеет конечный предел. То же относится и ко второй дроби в квадратной скобке. Следовательно, множитель при sin n + 1)) t в подынтегральном выражении последнего интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n, т.е. S n x 0 ; f) fx 0 0) fx 0 + 0) при n. З а м е ч а н и е.1. Требование существования f + +x 0), f x 0) в условии теоремы можно как это видно из до-

12 1 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье казательства) заменить более слабым требованием выполнения неравенств fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),.1) при некоторых α 0, 1], δ > 0, M > 0. Условия.1) называются односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при α = 1 еще и односторонними) условиями Липшица. Следствие 1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и существует f x 0). Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0). З а м е ч а н и е.. Непрерывность на R π-периодической функции не является достаточным условием сходимости ее ряда Фурье в данной точке x 0. Существуют примеры π-периодической непрерывной на R функций, ряды Фурье которых расходятся в каждой рациональной точке. В теореме.1, замечании.1 и следствии приводятся достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Существуют и значительно более общие достаточные условия такой сходимости. З а м е ч а н и е.3. Пусть функция f задана и абсолютно интегрируема на отрезке длиной π, например на [, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах отрезка можно применить теорему.1, продолжив функцию f изменив при необходимости ее значения на одном или обоих концах) до π-периодической функции. После такого продолжения точка x = будет почти регулярной тогда и только тогда, когда f +), f π). В этом случае ряд Фурье функции f f + 0) + fπ 0) сходится в точке x 0 = к. Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в точке x 0 = π. Пример.1. Найдем ряд Фурье функции fx) = π x, x .

13 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 13 Пусть f: R R π-периодическая функция, fx) = fx) при 0 < x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 3.1. Пусть f π-периодическая непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция. Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R и sup S n x; f) fx) C ln n при n, x R n где C не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 < t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Отсюда 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Полагая δ = δ n = n 1, получаем, что при n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n где C не зависит от n. Из последнего неравенства следует утверждение теоремы. Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает равномерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты стремления к нулю остатка этого ряда. Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функции может быть установлена и при условиях более общих, чем в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Определение. Говорят, что функция f: R удовлетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α > 0: fx) fy) M α x y α x, y . Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера степени α сужается при увеличении α. Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема на , то она удовлетворяет на условию Липшица. Следующая теорема обобщает теорему 3.1. Теорема 3.. Пусть π-периодическая функция f удовлетворяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где C α не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой.1) в виде S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Положим fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцилляции, получаем S n x; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Напомним, что π t < sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t > δ, то h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 так что 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α λ α ln 1 δ. C M α t λ α, Полагая δ = n 8 и собирая оценки, приходим к утверждению теоремы. Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной сходимости, допускает следующее обобщение. Теорема 3.3. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Пусть на некотором интервале a, b) f непрерывна и f кусочно-непрерывна. Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на любом отрезке a, b). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n 8 δ < δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно малое δ = δε) > 0, что sup I δ,n < ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Тогда из 3.1) и полученных оценок следует, что sup S n x; f) fx) 0 при n x и теорема установлена. Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке достаточно знать поведение этой функции лишь на окрестности a ε, b+ε) этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0. Из теоремы 3.3 следует, например, что ряд sin kx k на любом отрезке [ε, π ε], ε > 0, равномерно сходится к функции fx) = π x. Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочнонепрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени α > 0 на . 4. Приближение непрерывных функций многочленами Определение 4.1. Функция вида A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) тригономе- называется тригонометрическим многочленом трическим полиномом) степени n. Теорема 4.1 Вейерштрасса). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > < ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {x j } J j=0, x j = + j π J, разбиение отрезка [, π]. Построим ломаную вписанную в график функции f), соединив отрезками

19 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 19 последовательно точки x j, fx j)) графика f. Обозначим через Λ J: R R π-периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [, π] с построенной ломаной. Очевидно, Λ J кусочно линейная на [, π] функция, а значит, и кусочнонепрерывно дифференцируемая т.е. Λ J кусочно-непрерывна). Непрерывная функция f является равномерно непрерывной. Поэтому fx) fx) < ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T, что max fx) T x) < ε. x π

20 0 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Упражнение 4.1. Показать, что последняя теорема перестает быть верной, если отбросить условие f) = fπ). Заметим, что в теореме 4.1 в качестве тригонометрического многочлена T нельзя вообще говоря) взять S n x; f) частичную сумму ряда Фурье функции f), поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться не обязан даже и поточечно сходиться) к функции f. Однако, в качестве T можно взять σ n x; f) сумму Фейера функции f) при достаточно большом n, где σ n x; f) = S 0x; f) + S 1 x; f) + + S n x; f) n + 1 среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера: Теорема 4. Фейера). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда σ n x; f) fx) при n. R Доказательства этой теоремы приводить не будем. Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают еще и следующим образом: Ряд Фурье π-периодической непрерывной функции f суммируем к fx) методом средних арифметических. Метод суммирования ряда средними арифметическими последовательности его частичных сумм) дает возможность и для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности этих средних арифметических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда. Пример 4.1. Расходящийся ряд суммируем методом средних арифметических к числу 1. С помощью теоремы 4.1 Вейерштрасса) доказывается и возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P.

21 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 1 Теорема 4.3 Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке . Тогда для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P, что max fx) P x) < ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T, что max f t) T t) max f t) T t) < ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Всякая непрерывная на отрезке функция является равномерным пределом некоторой последовательности алгебраических многочленов. 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Теорема 5.1. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx ее разложение в ряд Фурье. Тогда f x) ka k sin kx + kb k cos kx, т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции почленным дифференцированием. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Тогда, интегрируя по частям, получим α k = 1 π β k = 1 π α 0 = 1 π f x) cos kx dx = f x) dx = 1 = 0, π = 1 π fx) cos kx π f x) sin kx dx = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 3 Лемма 5.1. Пусть π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную порядка m N. Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются оценки) 1 a k + b k = o k m при k. 5.1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m 1 и f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Поскольку α k, β k 0 k) по лемме о стремлении к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства получаем 5.1). Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные свойства функции f. Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если использовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных πпериодических функций: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Это неравенство будет установлено ниже. Применяя 5.) к производной f m), получаем, что в условиях леммы 5.1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx <. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ного с рядом Фурье π-периодической непрерывной и кусочнонепрерывно дифференцируемой функции f, т.е. ряда Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) где a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Сопряженным ядром Дирихле называется D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Последнее равенство устанавливается так же, как 1.5). же, как 1.8) устанавливается, что частичную сумму n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx ряда 5.3) можно представить в виде S n x; f) = где 0. Так D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Лемма 5.. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда при некотором C > 0 и n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) x R n+1

25 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 5 Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M 1 max R f. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем fx + t) fx t) M 1 t, 0 < t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 3.1. Пусть ϕ f m 1) и α k, β k коэффициенты Фурье функции ϕ. По теореме 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Пусть a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Пусть сначала m 1 четно. Тогда в силу m 1 раз примененной теоремы 5.1 при x R имеем r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учитывая сходимость ряда α k cos kx + β k sin kx и оценку установленные в случае m = 1 данной теоремы) sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. Получим r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n и 5.5) в этом случае установлено. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 7 Пусть теперь m 1 нечетно. Тогда r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Ряд α k sin kx β k cos kx сходится по лемме 5.. Применяя преобразование Абеля и оценку 5.5), получим, что r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, и теорема доказана. Теорема 5. показывает, что чем больше производных имеет функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье. З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5. можно переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке [, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее π-периодического продолжения условий соответственно леммы 5.1 и теоремы 5.. Именно, следует для функции f: [, π] R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные: f j)) = f j) π) при j = 0, 1,..., m 1. При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и теоремы 5.1 для функции f: [, π] R следует считать выполненным равенство f) = fπ). Наряду с теоремой 5. установим и другую теорему 5., хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-

28 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ференциальными свойствами π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье. Доказательство теоремы 5. в отличие от теоремы 5. опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя 5.), которое будет предварительно установлено. Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем. Лемма 5.3. Пусть f π-периодическая и кусочно-непрерывная функция, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо неравенство Бесселя 5.). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является π-периодической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функцией. По теореме 5., она раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Домножим равенство 5.6) почленно на fx) и проинтегрируем полученный ряд также равномерно сходящийся) почленно. Получим в силу формул 1.) для коэффициентов Фурье равенство a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7) следствием которого является.) Равенство Парсеваля 5.7) и неравенство Бесселя 5.) будут позднее распространены на функции f со значительно более общими свойствами. Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и Λ J: R R π-периодическая непрерывная функция, кусочно линейная на [, π], построенная при доказательстве теоремы Вейерштрасса 4.1 график Λ J представляет собой вписанную в

29 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 9 график f ломаную). Обозначим через a k f), b k f) коэффициенты Фурье функции f. Из 5.) следует неравенство a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Пусть n N фиксировано, а J. Тогда, как легко видеть, a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Переходя к пределу в неравенстве 5.5), получаем, что a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Переходя в последнем неравенстве к пределу при n, приходим к утверждению леммы. Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R и) 1 max fx) S nx; f) = o при n. 5.9) x R n m 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее ряда Фурье. r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где α k, β k коэффициенты Фурье функции f m), а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В силу неравенства Коши Шварца N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Предельный переход в последнем неравенстве при N показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N поставить. Используя его, получаем, что r n x; f) αk + β k) 1 k m = = ε n 1, 5.10) km причем ε n 0 n) в силу сходимости ряда αk + + βk), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f m) см. лемму 5.3). Заметим, что 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Отсюда и из 5.10) следует 5.9). Заключительное замечание В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного интегрирования рядов Фурье, рядов Фурье l-периодических функций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложение этих вопросов можно найти во многих учебниках. Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про- n

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k (k 1 Функциональным рядом называется

Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

«Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу (N) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,... (или просто последовательность).

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f(x) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F"(x) = f(x). Пример

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

FOURIER SERIES M I VISHIK Represetatio of ay periodic fuctio as a sum of correspodig trigoometric series, kow as its Fourier series expasio, is discussed Parseval equatio is preseted: itegral of a squared

Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в

009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n: D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f: D C если для каждого

Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке (где a < b). Произвольное

В главе 10 описывалось применение рядов Фурье к исследованию упругих колебаний струны. В данной главе мы рассмотрим некоторые вопросы упругого изгиба балок.

Использование рядов Фурье для решения задач статики упругих тел производится по следующей схеме.

Прежде всего из физических соображений выводится соотношение, которое связывает функцию, описывающую геометрическое состояние деформированного тела, с приложенными к телу нагрузками. Это соотношение, вообще говоря, содержит, помимо самой функции состояния, еще и ее производные, а также некоторые интегральные характеристики.

Затем, исходя из геометрических очертаний тела и кинематических условий, ограничивающих его перемещения, выбирается ортогональная система функций, по которой указанная функция состояния разлагается в ряд Фурье.

Подстановка этого ряда Фурье в выведенное соотношение приводит к тождественному равенству двух рядов Фурье, от которого, пользуясь теоремой 2 § 14 главы 9, можно перейти к равенству коэффициентов при одинаковых функциях. Из этих последних равенств можно вычислить значения коэффициентов Фурье и тем самым описать состояние деформированного тела.

Этот процесс подстановки ряда Фурье в характеризующее изгиб соотношение следует осуществлять достаточно осмотрительно, ибо в ходе его приходится несколько раз почленно дифференцировать ряды Фурье, коэффициенты которых вычисляются лишь впоследствии. Убедиться в правомерности этого дифференцирования, т. е. (см. § 10 главы 5) в равномерной сходимости ряда, составленного

из производных членов дифференцируемого ряда, априори довольно затруднительно. Поэтому при решении каждой конкретной задачи мы будем рассуждать примерно следующим образом.

Сначала мы будем предполагать, что написанный с неизвестными пока коэффициентами ряд Фурье можно (в смысле теоремы § 10 главы 5) почленно дифференцировать нужное число раз. Выписывая производные и решая получающиеся уравнения, мы будем находить интересующие нас коэффициенты Фурье. Это будет означать, что если ряд Фурье поддается почленному дифференцированию (и притом столько раз, сколько это требуется), то он является вполне определенным, найденным нами рядом. Если теперь из рассмотрения полученных коэффициентов будет видно, что этот построенный, вполне определенный ряд действительно почленно дифференцируем, то все операции, проделанные фактически именно над этим рядом, были законными, и найденные коэффициенты Фурье - искомые. Если же окажется, что получился недифференцируемый ряд, то это значит, что проделанные с ним ранее действия были математически некорректными, а полученный на их основе результат - необоснованным, хотя, возможно, и верным. Далее мы познакомимся с примерами исходов обоих типов.

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.
рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

k - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники) T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала) Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей, θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье.)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2), где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого: Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T. Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье. По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц. Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих. Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

FourierScope - программа для построения радио сигналов и их спектрального анализа. Graph - программа с открытым кодом, предназначенная для построения математических графиков. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ – КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Ряды Фурье и их применение в технике связи

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Ряды Фурье и их применение в технике связи
Рубрика (тематическая категория)	Образование

Разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды

Лекция 6. Непрерывный канал

Критерии качества восстановления.

Существуют следующие критерии:

1) Критерий наибольшего отклонения

где: допускаемая погрешность восстановления, - max значение - текущая погрешность приближения.

При этом имеется уверенность, что любые изменения исходного сигнала, включая кратковременные выбросы будут зафиксированы.

2) Критерий СКЗ. где: - дополнительная СК погрешность приближения, - СК погрешность приближения.

3) Интегральный критерий

Определяется max среднее значение за период дискретизации.

4) Вероятностный критерий

Задаётся допустимый уровень, величина Р – вероятности того, что текущая погрешность приближения не зависит от некоторого определённого значения.

Цель лекции: ознакомление c непрерывным каналом

а) разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды;

б) Ряды Фурье и их применение в технике связи;

в) теорема Котельникова (Основная теорема Шеннона);

г) пропускная способность непрерывного канала;

д) модель НКС.

В теории связи для представления сигналов широко используются два частных случая разложения функций в ортогональные ряды: разложение по тригонометрическим функциям и разложение по функциям вида sin x/x. В первом случае получаем спектральное представление сигнала в виде обычного ряда Фурье, а во втором случае – временное представление в виде ряда В.А. Котельникова.

Простейшей с практической точки зрения формой выражения сигнала является линœейная комбинация некоторых элементарных функций

В общем случае, сигнал представляет собой сложное колебание, в связи с этим возникает крайне важно сть представить сложную функцию s(t), определяющую сигнал, через простые функции.

При изучении линœейных систем такое представление сигнала весьма удобно. Оно позволяет решение многих задач расчленить на части, применяя принцип суперпозиции. К примеру, чтобы определить сигнал на выходе линœейной системы, вычисляется реакция системы на каждое элементарное воздействие ψ k (t), а затем результаты, умноженные на соответствующие коэффициенты а k легко вычислялись и не зависели от числа членов суммы. Указанным требованиям наиболее полно удовлетворяет совокупность ортогональных функций.

Функции ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Заданные на интервале, называются ортогональными,

если при. (6.3)

Основой спектрального анализа сигналов является представление функций времени в виде ряда или интеграла Фурье. Любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условию Дирихле, должна быть представлен в виде ряда по тригонометрическим функциям

Величина а 0, выражающая среднее значение сигнала за период, принято называть постоянной составляющей. Она вычисляется по формуле

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье

Величина A k есть комплексная амплитуда, она находится по формуле

Соотношения (6.8) и (6.9) составляют пару дискретных преобразований Фурье. Необходимо отметить, что рядом Фурье можно представить не только периодический сигнал, но и любой сигнал конечной длительности. В последнем случае сигнал S(t ) принимается периодически продолженным на всœей оси времени. При этом равенство (6.4) или (6.8) представляет сигнал только на интервале его длительности (-Т/2,Т/2 ). Случайный сигнал (или помеха), заданный на интервале (-Т/2,Т/2 ), должна быть также представлен рядом Фурье

где a k и b k являются случайными величинами (для флуктационной помехи – независимыми случайными с нормальным распределœением) .

Ряды Фурье и их применение в технике связи - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Ряды Фурье и их применение в технике связи" 2017, 2018.