Как решать задания с параметром егэ. "методы решения задач с параметрами"

Задание 1 #6329

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

1) \(y=x\) . Подставим в первое уравнение и получим: \ (заметим, что в случае \(y=-x\) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\) . Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\) .

2) \(y=-x\) . Получаем квадратное уравнение: \ Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , откуда \(a\in \left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\) .

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Пусть \(x_0\) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда \ Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\) , либо \(a=0\) .
Если \(a=0\) , то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\) – их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \(a=-1\) или \(a=-0,6\) . Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.

Учитывая все это, в ответ пойдут:

Ответ:

\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)

Задание 2 #4032

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :

(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\) графиком \(y\) является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\) , а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\) , то уравнение выглядит как \(y=0\) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Условия касания графиков \(y\) и \(g\) в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\) или \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin{cases} 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\] Из данной системы \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Получили первое значение параметра \(a\) .

2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Найдем \(a\) , при которых парабола \(y\) проходит через точку \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\) с прямой \(h=-2x-1\) – это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\) .
Таким образом, получили еще одно значение параметра.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \

Ответ:

\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)

Задание 3 #4013

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\) : \ Дискриминант равен \(D=9y^2\) , следовательно, \ Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\ &y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\) и радиусом \(R=\sqrt5a^2\) . Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\) :


Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\) .

2) Так как у прямой \(y=kx\) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(k\) , то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\) равен \(0,5\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\) ), прямой \(y=2x\) – равен \(2\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\) ). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta=1\) , следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\) . Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Это значит, что угол между \(y=2x\) и положительным направлением \(Oy\) равен углу между \(y=0,5x\) и положительным направлением \(Ox\) :


А так как прямая \(y=x\) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\) и \(Oy\) равны по \(45^\circ\) ), то углы между \(y=x\) и прямыми \(y=2x\) и \(y=0,5x\) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\) и \(y=0,5x\) симметричны друг другу относительно \(y=x\) , следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\) , то окружность вырождается в точку \((0;0)\) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:


Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\) , а в третьей \(a<0\) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.


Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\) , \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Тогда \ Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\] Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\, 45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot \mathrm{tg}\,\alpha}\] следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}} \quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\) . Следовательно, ответ: \

Ответ:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Задание 4 #3278

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \ Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\) . Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 5 #3252

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \(\) .

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\) , так как уравнение принимает вид \(0=0\) . Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\) , нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\) , то есть \(x=\frac{a+1}2\) . Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \ Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\) .
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \(\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \ Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\) .

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 6 #3238

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственный корень на отрезке \(.\)

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \

1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.

3) Пусть \(a>0\) . Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\) . Следовательно, если \(a>1\) , то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0 Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Исследуем ее.
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\) . Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.

Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \(\) , нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\) , то ответ \(a\in (0;1]\) . Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\) , корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\) . Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \(\) .
Рассмотрим три случая:

1) \(a>0\) . Тогда \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\) , или совпадает с \(x_1\) , или удовлетворяет \((1)\) , но не входит в отрезок \(\) (то есть меньше \(0\) );
- \(x_1\) не удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\) .
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\) ). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\) , получим: \

2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

с параметрами

Прокушева Наталья Геннадьевна

г. Лодейное Поле

2013-2014

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y ), или в координатной плоскости (x ; a ).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , тоуравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда .

Пример 1. Решить уравнение | x | = a .

Решение:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение |3 – x | = a .

Решение:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x = 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 3. Решить уравнение m ² x – m = x + 1.

Решение:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Ответ:
при m ≠ ± 1; x Є R при m = –1; решений нет при m = 1.

Пример 4. а решить уравнение: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Решение: Разложим коэффициент при на множители. .

Если , уравнение имеет единственное решение: .

Если , уравнение не имеет решений.

Если , тоуравнение имеет бесконечно много решений .

Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение:
.

Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.

Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a | x – 1| = 4.

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1) , если . Найденный будет решением, если .

2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же , то решением является любой x > 1.

Ответ: при ; при ;

п ри ; является также решением при всех .

Пример 8. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .

Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство: .

При уравнение не имеет решений.

Ответ : а Î (–5 , 4) .

Линейные неравенства с параметрами

Например: Решить неравенство: kx < b .

Если k > 0, то
. Если k < 0, то
. Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R , а при
решений нет.

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство
.

Решение:

. Если скобка перед x положительна, т.е. при
, то
. Если скобка перед x отрицательна, т.е. при
, то
. Если же a = 0 или a = , то решений нет.

Ответ:
при
;
при
;

решений нет при a = 0 или a = .

Пример 2 . Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a | < 2a .

Решение:

При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a , т.е. решений нет. Если x Є [–a ; a ] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).

Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.

Ответ: x Є (–a ; +∞) при a > 0, решений нет при
.

Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .

Пример 3. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству 2x – a ² + 5 < 0.

Решение:

Решением неравенства |x | ≤ 2 является множество A =[–2; 2], а решением неравенства 2x – a ² + 5 < 0 является множество B = (–∞;
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .

Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка .

Решение:

Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.

–3a + 2 < 2a + 4
и –3a + 2 > 2a + 4
. Т.о., при
x Є (–3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При
x Є (2a + 4; –3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .

Ответ:
.

Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?

Решение:

Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.

Выясним знак коэффициента при

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Пусть a ≥ 1. Тогда функция f (x ) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Вместе с условиями a ≥ 1; получим:

Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.

Ответ :
.

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратичная функция:
.

В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.

Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

x ² – ax + 1 = 0

D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4

a ² – 4 < 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Ответ : при a Є (–2; 2)

Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?

Решение:

а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0

ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0

ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26 a – 9 < 0

D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)

Пример 3. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ : x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Ответ:
при a Є (–∞; –1) U (–1; 3) U (3; +∞);

решений нет при a = –1; 3 .

Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .

Решение:

Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .

При a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Ответ:

при a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Пример 5. Найти все значения a , при каждом из которых уравнение | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.

Решение:

Разложим квадратный трехчлен x ²–( a +2) x +2 a на множители.
;
;
;

Получим | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Это уравнение равносильно совокупности

Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a + 3 = 2 и a – 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a являются a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Ответ: –5.

Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .

Решение:

Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.

1. a = 0 –2x + = 0;

Ответ: a Є U .

Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.

Решение:

Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .

На отрезке построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax будет являться касательной к графику y = x ²+ 4 x – 3 на
отрезке .

Уравнение касательной имеет вид y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



Т.к. уравнение касательной y = a , получим систему уравнений

Т.к. x 0 Є ,

Ответ: при a = 4 – 2
.

Квадратные неравенства с параметрами

Пример. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .

Решение:

Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть
, ax = t ²

t ≥ 0

При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t , если a ≠ 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a ≠ 0, тогда
и неравенство
примет вид
,

Решение неравенства зависит от значений a , поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a >0, то
при
, или в старых переменных,

Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,

16a ≥ 96. Отсюда, a Є .
2). Если а < 0, то
;
; t Є (4a ; a ). Так как t ≥ 0, то решений нет.

Ответ: .

Иррациональные уравнения с параметрами

При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.

Пример 1. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Если x = a ² – 1, то условие выполняется.

Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a – x ≥ 0; x ≤ a ;

x + 3 = a – x ,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Ответ:
при a ≥ –3; решений нет при a < –3.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра а ?

Решение:

Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]

Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x ² + y ² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции
. Если заменить у на а , то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.

По графику видим ответ.

Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;

при а Є [–2; 2), два корня;

при а = 1, один корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?

Решение:

1 способ (аналитический):

Ответ:

2 способ (графический):

Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у 1 = 2 + х и у 2 =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а ) или вправо (при отрицательных а ) (рис.2)

Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.

Тригонометрические уравнения с параметрами.

Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Решение:

Учитывая нечетность функции
, данное уравнение сведем к равносильному
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Решений нет.

5. b Є(–1; 0)

6. b Є(–2; –1)

Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.

Решение:

Выразим cos 2x через sinx .

Пусть
тогда задача свелась к нахождению всех значений p , при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е.

Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Системы уравнений с параметрами

Системы двух линейных уравнений с параметрами

Система уравнений

Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .

Возможны 3 случая:

1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.

2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .

В этом случае система решений не имеет .

3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x 2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

2. Ответ:

a О (-Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x -x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x -x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x -a = 6x -x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x - 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О }