Математика, которая мне нравится. Основные математические формулы

Образование - то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.

Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи " Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР"

Заучивание наизусть и долговременная память

Незнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.

Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.

Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.

4.1. Математические формулы

Современные научные издания насыщены математическими методами доказательств. Ученые вводят в текст большое число формул, символов. Отличительные особенности математических формул – большая смысловая концентрация, высокая степень абстрактности заключенного в них материала, специфичность ма–тематического языка. Это в известной степени осложняет восприя–тие читателем текста и ставит перед редактором немало проблем.

Математической формулой называется символическая запись какого-либо утверждения (предложения, суждения). Формулы по–могают заменить в тексте сложные словесные выкладки, различные операции с количественными показателями. Для этого используют специальные обозначения – символы, которые можно разделить на три группы:

– условные буквенные обозначения математических и физико-технических величин;

– условные обозначения единиц измерения величин;

– математические знаки.

Существует мнение, что редактору работать с текстом, в кото–ром много формул, намного проще, чем с текстом без формул. Это неверно, ибо формулы в еще большей степени, чем текст, могут претерпевать преобразования и иметь различные формы записи, причем для каждой конкретной формулы в каждом конкретном издании должен быть выбран оптимальный вид. При этом учиты–ваются круг читателей, на который рассчитана данная книга, и особенности каждой формулы, чтобы избежать ошибок, неясно–стей или неудобочитаемости. Проследим это на примере записи одной формулы.

1. Эксплуатационная скорость автомобиля

T н – время в наряде.

В таком виде формула удобна, например, для вузовского учеб–ника.

2. Эксплуатационная скорость автомобиля

где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде (на работе);

T н – время в наряде.

Такая запись вполне приемлема, например, для учебного пособия по курсовому проектированию, читатель которого уже несколько подготовлен, а этот фрагмент – часть некоторой методики расчета.

3. Эта же формула в производственных изданиях для инженер–но-технических работников вполне может быть набрана в подбор.

Эксплуатационная скорость автомобиля v э =L/T н, где L – пробег; T н – время в наряде.

4. В учебнике для школьников, учащихся ПТУ эта формула должна иметь другой вид.

Эксплуатационная скорость, которую принято обозначать ха–рактеризует условную среднюю скорость подвижного состава за все время пребывания его в наряде (на работе) и определяется отношени–ем пробега ко времени в наряде, т.е.

где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде;

T н – время в наряде.

Такая запись позволяет учащемуся наглядно увидеть, как влия–ют исходные параметры на результат, т.е. понять, какие параметры влияют на конечный результат прямо пропорционально, а какие наоборот, легко запомнить формулу и усвоить «классическую» форму математической записи физической зависимости.

5. В научно-популярной литературе для массового читателя, где на всю книгу встречаются одна-две формулы, запись в математи–ческой форме выглядит неуместной. Поэтому лучше сделать так.

«Эксплуатационная скорость автомобиля как один из важнейших показателей его работы определяется расчетным путем:

6. В научных изданиях, где, например, эта формула необходима читателю лишь для напоминания с целью объяснения каких-то явлений, не имеющих прямого отношения к расчету показателей использования автомобиля, формула в традиционном виде может быть опущена вообще, а смысл ее просто передан словами: «Экс–плуатационная скорость автомобиля, определяемая как частное от деления пробега на время в наряде, – один из важнейших пока–зателей, которые приходится учитывать при формировании опти–мальной структуры парка транспортного объединения».

Если теперь оценить приведенные варианты, нетрудно увидеть, что они заметно различаются по удобству восприятия, компакт–ности построения и трудоемкости издания. В понятие «трудоем–кость издания» здесь будем условно включать трудоемкость редак–тирования, перепечатки формульных оригиналов, считки. Каждый вариант имеет свои, отличные от других, показатели восприятия, компактности и трудоемкости.

Рассмотрены варианты написания простейшей формулы, но если она окажется более сложной, то легко представить, что поя–вятся и другие варианты, связанные с возможностью варьирования формой записи индексов, выделением в формуле функциональ–ных групп параметров, расчленением одной сложной формулы на несколько простых и наоборот изменением «этажности» формулы в целом и ее составных элементов.

Прежде чем продолжить рассуждения о редактировании мате–матических формул, надо оговорить, что считать незыблемым в формулах, а что – допускающим варианты. В специальной лите–ратуре сказано ясно и недвусмысленно: в математических форму–лах должны применяться такие символы, которые установлены стандартом или являются общепринятыми в отрасли.

Это, безусловно, верно, но заметим, что стандартами регла–ментируется лишь незначительная часть символов, а «общепри–нятые» символы при анализе специальной литературы на одну тему чаще всего оказываются «общепринятыми» не в отрасли, а в пределах одной организации. Особенно это характерно для ин–дексов.

Многие величины, необходимые только в одной отрасли науки, должны иметь свои собственные обозначения, отличающиеся от обозначений сходных величин в других отраслях науки. Чтобы ре–шить эту проблему, т.е. индивидуализировать символ, применяют индексы. К основному буквенному обозначению добавляют ин–декс, указывающий на частное значение. Так, латинской буквой L или l чаще всего обозначают длину, интервал, протяженность, дальность, период и т.п. Если же необходимо обозначить конкре–тизированное понятие длины, то к общему символу добавляют уточняющий индекс. Например:

L к – длина кормовой части лодки;

L пр – расстояние пробега;

l э – размах элерона;

l ск – длина участка скалывания.

Основным материалом для составления индексов являются строчные буквы русского алфавита. Значительно реже применяют–ся буквы латинского алфавита, очень редко – греческие и тем более готические. Довольно часто в индексах используются арабские цифры и математические знаки. По местоположению при буквен–ном обозначении индексы подразделяют на нижние и верхние, причем нижние предпочтительнее. Верхний индекс справа лучше не использовать, так как это место показателя степени. Наиболее часто в качестве верхних индексов применяют штрихи: h ?; h ??.

Иногда индексы могут быть расположены вверху слева, если необходимо различить обозначения, имеющие совершенно оди–наковый вид, и если обозначение уже снабжено какими-либо ин–дексами и степенями. Например, имеется обозначение углов по–ворота стержня Q, которые в зависимости от точек приложения силы снабжаются нижними индексами 1, 2, 3, а также штриха–ми?, ??, ??? ... – в зависимости от кратности приложения силы (так, Q1? – первое приложение силы в точке 1; Q 1 ?? – второе приложение силы в точке 1 и т.д.). Если нужно выделить еще и угол поворота (слева или справа от узла стержня), применяют левые верхние ин–дексы: ? – для обозначения угла слева от узла; п – для обозначе–ния угла справа от узла. Таким образом, буквенное обозначение с индексом? Q 1 – первое приложение силы в точке 1 при левом повороте узла.

Ноль в качестве индекса придает буквенному обозначению значение «расчетный», «начальный», «исходный», относящийся к центру тяжести и т.п., а также может употребляться в значении «стандартное состояние вещества», например, l 0 – расчетная дли–на, t 0 – начальная температура.

Индексы, состоящие из нескольких слов, сокращают по началь–ным и характерным буквам. При этом, если индекс представляет собой два или три сокращенных слова, после каждого из них, кроме последнего, ставят точку, например S рв – площадь руля высоты.

Теперь непосредственно о восприятии формул. Принято счи–тать, что хорошо воспринимаемая формула – это такая, которую легко понять и запомнить. Добавим два дополнительных требо–вания.

1. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать таким символам в формулах, которые легко и однозначно воспро–изводятся на письме (от руки). В первую очередь это относится к учебникам, формулы из которых преподаватель пишет на доске, учащийся – в конспекте и т.д. Трудности здесь возникают обычно в связи со сходным начертанием букв разных алфавитов и из-за неоправданной усложненности индексов. Так, R г.ц легко и запи–сать, и потом прочитать. А теперь попытаемся прочитать запись? e.g . Для этой, казалось бы, выразительной записи существуют свыше 100 (!) вариантов прочтения, ибо есть шесть вариантов для с («ро» строчная и прописная; «пэ» строчная и прописная; «эр» строчная и прописная); четыре варианта для е («е» и «эль», на строке и в индексе); шесть вариантов для g («дэ» и «жэ»; на строке, в индексах первой и второй ступени). Кроме того, всю запись можно прочитать и как «? логарифмическое».

2. Формула должна иметь хороший графический рисунок. Плохо воспринимаются, например, цифры в середине сомножителей (их лучше ставить спереди), сложные показатели степени и индексы, многоступенчатые индексы, сложные формулы, приведенные к компактному виду.

Особой разновидностью искажений графики, еще больше ухудшающих «внешний вид» формулы, являются нарушения пра–вил набора. Желая упростить его, иногда смещают верхние индексы относительно нижних (K ав ткм). Точки в индексах часто оказываются не на месте и выглядят знаком умножения (Д Б .П ). Запятые после формул неопытные наборщики набирают в индексах (А =ВС к ). Не соблюдаются правила выбора кегля для подключек, в результате чего формула и экспликация становятся не похожими друг на друга. Если в индексах встречаются буквы разных алфавитов, часто они плохо выравниваются («пляшут»). Знак деления «косая черта» по высоте часто ниже (меньше кегль) делимого и делителя.

Что касается главного условия хорошей воспринимаемости формул – облегчения их понимания и запоминания, – необходимо учитывать следующие рекомендации:

– при прочих равных условиях русские символы, являющиеся первой буквой зашифрованного слова, воспринимаются, т.е. по–нимаются и запоминаются, лучше, чем латинские или греческие;

– в качестве символов нежелательно использовать аббревиатуры, так как они воспринимаются как произведение;

– индекс по возможности должен яснее отражать зашифрованное в нем слово или словосочетание;

Легко понимается и запоминается формула, в которой на–глядно отражена зависимость результата вычисления от характера изменения параметров.

Единицы физических величин следует помещать только после подстановки в формулу числовых значений величин и проведения промежуточных вычислений – при получении конечного результа–та. Например:

неправильно:

с = КТм/с = 1,4 · 290 · 300 м/с = 350 м/с;

правильно:

с = КТ = 1,4 · 290 · 300 = 350 м/с.

Математические знаки определяют как символы, служащие для записи математических понятий, предложений и вычислений. Так, «отношение длины окружности к длине ее диаметра» записы–вается в виде знака щ.

Математические знаки подразделяются на три группы:

1) знаки математических объектов (точки, прямые, плоскости) обычно обозначаются соответственно буквами (А, В, С…; а, b, с…; ?, ?, ?... );

2) знаки операций сложения (+) и вычитания (-); возведения в степень а 2 , а 3 и т.д.; корня V; знаки тригонометрических функ–ций log, sin, cos, tg и др.; факториала!; дифференциала и интеграла dx, ddx,…, ?ydx, модуля | х |;

3) знаки отношений (= – равенство, > – больше, < – меньше, || – параллельность, ? – перпендикулярность, ? – тождествен–ность, ? – приблизительное равенство).

Все эти знаки, кроме знаков объектов, применяются только в формулах, использовать их в тексте вместо слов соответствующего значения запрещается. Знаки объектов в тексте могут применяться со словами: в точке А, на плоскости а, из угла х.

Часто после формулы идет экспликация – расшифровка входя–щих в формулу символов. Элементы ее располагаются в той после–довательности, в которой условные обозначения прочитываются в формуле. Одни и те же буквы с разными индексами рекоменду–ется группировать вместе. При расшифровке дробных формульных выражений сначала поясняют буквенные обозначения числителя, а затем знаменателя.

Если необходимо расшифровать значение символа, стоящего в левой части уравнения, это рекомендуется делать в предшествую–щей формуле части предложения. К сожалению, эта рекомендация не всегда выполняется.

Приведем примеры из журнала «Военно-экономический вест–ник» (2002. № 12).

Расчет затрат на перевозки вооружения и техники осуществляются по формуле

З п.в.т = В п.в.т? С п.в.т? Д п (29)

где З п.в.т – затраты на перевозки однотипного вооружения и техники, руб.; В п.в.т – количество перевозимого вооружения (техники) данного типа, ед.; С п.в.т – стоимость перевозки 1 единицы вооружения (техники) на 1 км в руб.; Д п – дальность перевозки вооружения (техники), км.

Расчет производится по каждому виду вооружения (техники) в от–дельности.

Кроме того, для крепления перевозимого вооружения и техники на платформе используется крепежный материал – проволока, гвозди, скобы, брус деревянный или специальные крепежные приспособле–ния. Для их приобретения также требуются денежные средства. Расчет затрат на приобретение крепежного материала производится по формуле

З к.м = В п.в.т? Ц к.к.м, (30)

где З к.м – затраты на приобретение крепежного материала, руб.; В п.в.т – количество перевозимого вооружения и техники, ед.; Ц к.к.м – цена 1 комплекта крепежного материала (на единицу техники), руб.

Затраты на приобретение крепежного материала (крепежных при–способлений) рассчитываются отдельно только в том случае, если они не входят в расценки на перевозки вооружения и техники.

Затраты на перевозки личного состава на учениях различными ви–дами транспорта определяются по формуле

З п.л.с = В л.с? С п.ч? Д п, (31)

где З п.л.с – затраты на перевозки личного состава на конкретном виде транспорта, руб.; В л.с – количество перевозимого личного состава на конкретном виде транспорта, ед.; С п.ч – стоимость перевозки одного человека на 1 км конкретным видом транспорта, руб.; Д п – дальность перевозки личного состава, км.

И в первой, и во второй, и в третьей формулах символ, стоя–щий в левой части уравнений, следовало бы расшифровать в пред–шествующем формуле тексте. Символ В везде обозначает количе–ство перевозимого вооружения или личного состава, ед. Символ С – стоимость перевозки 1 человека, 1 единицы вооружения на 1 км; Д – дальность перевозки вооружения, личного состава, км. Следовало бы дать расшифровку символов один раз, не повторяя ее после каждой формулы.

После формулы перед экспликацией ставят запятую, а экспли–кация начинается словом где, за ним следуют обозначение первой величины и ее расшифровка и т.д. В конце каждой расшифровки рекомендуется ставить точку с запятой, в конце последней – точ–ку. Обозначения единиц физических величин в расшифровках от–деляют от текста запятой. Например:

Индуктивность многослойной катушки определяется по формуле

где? – число витков; D – средний диаметр намотки, мм; l – длина намотки, мм; h – высота намотки, мм.

Экспликация к формулам не стандартна. В научной литературе можно найти различные ее варианты – от самого простого до сложного, относящегося к одной формуле и к нескольким. Если формулы в предложении разделены текстом, общую экспликацию к ним лучше выделить в самостоятельное предложение. Например:

В векторной форме эти уравнения можно представить в следую–щем виде: уравнение движения центра масс

и уравнение движения летательного аппарата относительно центра масс

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: V – вектор скорости движения летательного аппарата относитель–но инерциального пространства;

R – вектор внешних сил, действующих на летательный аппарат; G – вектор сил тяжести;

М – вектор момента внешних сил относительно центра масс лета–тельного аппарата.

В научных, справочных, энциклопедических изданиях в целях более экономного использования бумаги экспликацию можно располагать в подбор.

Тщательная проверка и правильная обработка встречающихся в тексте формул и символов требует большого внимания редактора. Необходимо не только удостовериться в правильности и точности всех обозначений и числовых показателей, но и добиться наи–большей наглядности и доходчивости в оформлении, не допускать неясностей или возможности различного истолкования.

Принято считать, что за правильность приведенных данных полностью отвечает автор, однако редактор издательства обязан производить сплошную или выборочную контрольную проверку формул. Сплошной проверке подвергаются задачи в учебниках и учебных пособиях. Контрольно могут быть проверены равенства путем подстановки соответствующих величин.

Чтобы грамотно отредактировать формульный текст, недоста–точно одних только знаний о математическом построении форму–лы, об использовании условных обозначений и т.п. Необходимо знать и полиграфические требования к формулам, так как их соблю–дение помогает сделать формулы понятными, выразительными, компактными.

Редактор должен знать, как лучше расположить формулу, как ее перенести, если она не умещается на одной строке, какие фор–мулы надо нумеровать и т.д.

Существует два вида расположения формул: внутри текстовых строк и отдельными строками посередине формата набора. Разме–щение формул в подбор способствует большой экономии площади. Поэтому, если короткие несложные формулы не имеют самостоя–тельного значения и не пронумерованы, но выключены в отдельные строки, их можно расположить в подбор с текстом. Например:

Из условия неразрывности находим

Этот текст можно расположить так:

Такой прием особенно эффективен при большом формате на–бора (он позволяет экономить до 70-80% площади), однако этот прием не рекомендуется использовать в том случае, когда форму–лы многострочные или многоэтажные.

Несколько размещенных подряд формул, в которых вычисляют однотипные или аналогичные величины, выравнивают или по зна–ку равенства:

р хx = ?р + ?div? + 2?? 1 ;

р yy = ?р + ?div? + 2?? 2 ;

р zz = ?р + ?div? + 2?? 3 ;

или по величине, которая является основой сравнения:

150°? ? ?210°;

330° ? ? ?360°.

Если производится преобразование формулы, а сама формула многострочная, промежуточные группы должны быть размещены одна под другой, чтобы лучше был виден ход преобразований. На–пример:

Нумерация формул. Очень часто оперировать формулами при–ходится не только там, где они расположены, но и в предыдущем или в последующем изложении. Чтобы каждый раз, ссылаясь на формулу, не приводить ее полностью, формулы нумеруют. Обычно применяется сквозная нумерация ограниченного числа наиболее важных формул. Нумерация всех формул подряд загромождает книгу.

В больших работах (учебники, монографии) иногда применя–ется порядковая нумерация формул по главам, так называемая двойная нумерация. В этом случае первая цифра нумерованной формулы должна соответствовать номеру главы, вторая – поряд–ковому номеру формулы внутри главы, например: 12-я по порядку формула в главе 2 нумеруется (2.12), 5-я формула в главе 3 – (3.5) и т.д. В исключительных случаях, когда очередная формула явля–ется разновидностью приведенной ранее основной, допускается литерная нумерация формул арабской цифрой и строчной прямой буквой русского алфавита. Цифру и букву пишут слитно и не от–деляют запятой, например: 17а, 17б и т.д.

Порядковые номера всех формул должны быть написаны араб–скими цифрами в круглых скобках (римские цифры для нумерации формул не применяют) у правого края страницы без отточия от формулы к ее номеру.

в формуле (4.15) приведены…

В случае нумерации группы формул или системы уравнений одним порядковым номером этот номер, заключенный в круглые скобки, ставят на уровне середины объединенной группы формул или системы уравнений у правого края страницы. В этом случае применяют парантез (фигурная скобка).

Порядковый номер формулы при переносе ставят у последней строки. Например:

Проинтегрировав уравнение (2.17) один раз, получим

Знак умножения в формулах. Коэффициенты и символы в фор–мулах, как правило, не разделяют никакими знаками, а пишут слитно. Точка как знак умножения на среднюю линию не ставится перед буквенными символами и между ними, перед скобками и между сомножителями в скобках, перед дробными выражениями, написанными через горизонтальную черту, и после нее. Например:

Точка на среднюю линию как знак умножения ставится только в исключительных случаях:

– между числовыми сомножителями: 18 · 242,5 · 8;

– когда вслед за аргументом тригонометрической функции стоит буквенное обозначение: Jtg в · a sin б;

– для отделения сомножителей от выражений, относящихся

к знакам радикала, интеграла, логарифма и т.п.:

Вообще же выражение cos ?t ? ту или

обычно пред–ставляют в виде ту cos ?t или

Если не преследуется спе–циальная цель написания сомножителей в определенной по–следовательности, чтобы не нарушать стройность предыдущего вывода или математического анализа.

Косой крест (?) как знак умножения применяется в формулах:

– при указании размеров: площадь комнаты 4 ? 3 м;

– при записи векторного произведения векторов: а? b;

– при переносе формулы с одной строки на другую на знаке умножения.

Перенос формул. Если приводимая в рукописи формула на–столько длинна, что не помещается в одной строке на странице издания (без переноса), обычно требуют, чтобы автор наметил возможные места переноса. Предпочтительнее перенос делать в первую очередь на знаках математических соотношений: = ?, ?, ?,?, ?, >, <, >> и т.д.

Если на этих знаках разделить формулу на строки не удается, ее следует делить на знаках операций + или -. Менее желательно, хотя и допустимо, деление формул на строки на знаках ± и умно–жения. Не принято делить строку на знаке деления (две точки). Если формулу делят на знаке умножения, его показывают не точ–кой, а косым крестом (?).

Особенно внимательно подходят к вопросу о переносе уравне–ний, правая или левая часть которых представлена в виде дробей с длинными числителями и знаменателями или с громоздкими подкоренными выражениями. Такие уравнения необходимо пре–образовывать, приводя их к виду, удобному для переноса.

Дроби с длинным числителем и коротким знаменателем целе–сообразно представлять так, чтобы числитель был записан в виде многочлена в скобках, а единица, деленная на знаменатель, вы–несена за скобки. Например, уравнение

легко приводится к виду

При коротком числителе и длинном знаменателе рекомендуется заменять отдельные сложные элементы упрощенными обозначе–ниями. Например: вместо

Если в формулу входит дробь с длинным числителем и длин–ным знаменателем, то для переноса либо используют оба реко–мендованных приема преобразования, либо заменяют горизон–тальную дробную черту знаком деления (две точки). В последнем случае формула будет иметь вид

(a 1 x + a 2 y + ... + a i h ) : (b 1 x + b 2 y + ... + b i h ).

можно записать так:

(a 1 x + b 1 x 2 + ... + nx n ) 1/2 .

Знаки, на которых делают перенос, ставят два раза: в конце первой строки и в начале перенесенной части. Например:

Если формулу прерывают на отточии, его также повторяют в начале следующей строки. Если знак равенства стоит перед зна–ком минус, перенос делают на знаке равенства. Если формула имеет в своем составе несколько выражений в скобках, перенос рекомендуется делать на знаке + или –, стоящем перед скобками.

Несмотря на все старания редакторов и корректоров, погреш–ности в тексте с формулами все же остаются. Типичная ошибка при переносе формул – отрыв аргумента от функции. Например:

Конечно, нельзя требовать от наборщика, чтобы он дифферен–цированно оценивал запись типа f(x – y): без контекста невозможно сказать, что она означает: произведение двух функций f и (х – у) или зависимость функции f от аргумента (х – у). Однако известно, что тригонометрические функции без аргумента не имеют смысла, поэтому без них не употребляются. И помещать знак умножения между функцией и ее аргументом – грубейшая ошибка.

В приведенном примере редактор не мог предусмотреть допу–щенных ошибок. В первом случае перенос формулы вызван недо–смотром наборщика при разбивке ее на две строки, во втором формула была в самом тексте, и предвидеть ее перенос в этом месте при редактировании было практически невозможно. Но в верстке редактор обязан был исправить эту ошибку.

Емкость печатного листа с формулами в 2-3 раза меньше емкости печатного листа текста, что увеличивает себестоимость издания. Издательская практика располагает рациональными приемами по–дачи формул, дающими ощутимый экономический эффект. Фор–мулы, как правило, набирают в красную строку с отбивкой сверху и снизу. Это ведет к увеличению расхода бумаги, удорожанию на–бора и монтажа формул.

Выключка формул посередине формата целесообразна в двух случаях: а) формула нуждается в акценте; б) из-за сложности и громоздкости формула не может быть набрана вместе с текстом. Формулы, на которые необходимо обратить внимание, как прави–ло, нумеруются. Однако часто формулы выключают без всякой необходимости.

Например, текст

вполне можно разместить в одной строке.

Существенного уплотнения набора можно добиться и тогда, когда этому, казалось бы, препятствует нумерация формул. На–пример:

При таком расположении формул найти ее номер не составляет труда.

В подобном случае все формулы можно поместить в одной строке под одним номером:

Изменение ссылок на них не вызывает затруднений. Если, на–пример, нужно сослаться на формулу для выражения координаты, можно написать: «по второй из формул (3)».

Методы преобразования, заложенные в природе самой форму–лы, позволяют практически любую формулу любой сложности представить в виде, удобном для набора. Простейшая дробь

оказывается неудобной для набора. Но ее можно записать или через косую черту 1/2, или десятичной дробью 0,5, или в виде степени 2 -1 . Все варианты равноправны, однако наибольшее распростра–нение получил первый.

Считается, что в изданиях произведений научной литературы можно любые дроби преобразовать в однострочные выражения типа: (а + в)/с; (А + В)/(с + d) и т.д. Здесь явная выгода в расходе бумаги. Особенно целесообразно преобразование многоэтажных дробей. Например, дробь

можно преобразовать в вид (a/b + c/d)/(e/f + g/h) -1 .

В целях экономии бумаги такой ее компактности уделяется большое внимание. Однако здесь не обошлось без перебора: в пе–чати стали появляться огромные невоспринимаемые формулы и формулы двусмысленного толкования.

Невоспринимаемые формулы – результат порой бездумного перевода сложных двух– и трехэтажных формул в однострочные с помощью знака «косая черта» и отрицательных показателей сте–пеней.

Формулы двусмысленного толкования получаются в тех случа–ях, когда в знаменателе после косой черты оказывается произве–дение.

Яркий пример неосторожного обращения со знаком «косая черта» – в приложении 1 к ОСТу 29.115-88 «Оригиналы автор–ские и текстовые издательские. Общие технические требования». Авторы стандарта считают возможным формулу

преобразовать так:

Это неверно, ибо становится непонятным, какие символы на–ходятся в числителе, а какие – в знаменателе. Если эту неодно–значность устранить (с помощью дополнительных скобок), фор–мула получится еще менее воспринимаемой. Такой вариант станет, может быть, пригодным лишь для какого-то особого компактного издания, в котором формула дается лишь для того, чтобы, не заду–мываясь над ее смыслом, подставить цифры и получить результат.

Рассмотрим еще один «учебный» пример:

Если просто заменить горизонтальную дробную черту на косую, получим

А = В/СХ и А = В/СХ,

т.е. разные формулы стали одинаковыми.

Чтобы такого не произошло, в первой формуле надо произве–дение в знаменателе поставить в скобках, а во второй перенести X вперед или В/С записать в скобках:

А = В/(СХ) и А = XB/C = (B/С) X.

Многие считают, что вторую формулу в варианте А = В/ СХ можно оставить без изменения, ибо по правилам арифметики здесь дей–ствия будут выполняться в порядке расположения знаков. С этим нельзя согласиться, поскольку в технической литературе издавна сложился стереотип восприятия выражения за косой чертой как единого целого. Например, удельный расход топлива всегда обо–значали так: г/кВтч, где «ч (ас)» на самом деле находится в знаме–нателе, хотя по правилам арифметики он стоит в числителе.

Если в выражении А = В/ СХ косую черту заменить знаком деле–ния (две точки), это тоже нехорошо, ибо С и Xбудут набраны без пробела и многими будут приняты за произведение (А = В: СХ).

Как и было условлено, в трудоемкость формул (экономич–ность) будем включать трудоемкость не только набора, но и редак–тирования, перепечатки формульного оригинала, считки. Спра–ведливости ради сюда следовало бы включить и трудоемкость проверки формул автором в верстке, когда ему приходится порой часами проверять формулы, ставшие неузнаваемыми после редак–тирования. Очевидно, например, насколько труднее проверить вторую формулу, чем первую:

до преобразования

после преобразования? = 4(A /C ):[(1+A /C ) 2 +B 2 /C (?/? r ?? r /?) 2 ].

Конечно, то, что трудоемкость формул обычно сводится лишь к стоимости набора, в какой-то мере понятно: стоимость набора – это количественный и внешний показатель подготовки издатель–ского оригинала. Остальные показатели трудоемкости не подсчи-тываются и являются для издательства внутренними.

Чтобы сделать трудоемкость редактирования минимальной, надо добиться того, чтобы авторы представляли материал, в кото–ром соблюдены следующие требования:

– формулы вписаны от руки печатными буквами, аккуратно и ясно (если автор не смог осуществить компьютерный набор);

– знаки деления в сложных формулах имеют вид горизонталь–ной черты. Такие формулы легко проверить, проанализировать и принять решение, согласовав, естественно, с автором целесо–образность придания формуле более компактного вида;

– формулы размечены;

– сделаны необходимые уточнения на полях («е» – не «эль» и т.д.);

– число букв и знаков, требующих дополнительного разъясне–ния на полях, сведено в формулах к минимуму.

Много лишней бумаги уходит на подробные представления математических действий и выкладок. В таких случаях число фор–мул можно сократить – далеко не всегда необходимо приводить все промежуточные преобразования, если они элементарны по ха–рактеру. Например, вместо целого ряда преобразований формулы

вполне достаточно написать

Экономии бумаги можно достичь и группировкой формул. Так, формулы

? x = ?? + 2Ge x ;

? y = ?? + 2Ge y ;

? z = ?? + 2Ge z ;

?y z = ??y z ;

?x z = ??x z ;

?x y = ??x y ;

возможно сгруппировать более компактно:

? x = ?? + 2Ge x ; ?yz = ?? yz ;

? y = ?? + 2Ge y ; ?xz = ?? xz ;

? z = ?? + 2Ge z ; ?xy = ?? xy .

Пунктуация в тексте с формулами еще недостаточно система–тизирована, так как формулы нередко рассматриваются в качестве независимой части, искусственно вкрапленной в предложение. Бессистемность, разнобой легко устранить, если формулы и от–дельные символы рассматривать как члены предложения. С такой позиции каждую формулу нужно расценивать как синтаксиче–скую единицу, входящую в предложение, и соответственно рас–ставлять знаки препинания.

Формулы, как уже говорилось, или располагаются внутри тек–стовых строк, или выключаются посередине формата набора. Если внутри текста имеются формульные выражения, то при расста–новке знаков препинания знаки математических действий следует рассматривать как именную часть составного именного сказуемо–го, в котором опущена связка. Например:

Если? Z,C < ? X,C , то М (у, z, с ) = Му ? х,с.

Знаки препинания расстановлены с учетом того, что математи–ческие знаки < (меньше), = (равно) являются именной частью ска–зуемого. Связка «есть» опущена, так как сказуемое имеет значение настоящего времени.

Сложнее расставлять знаки препинания в предложении с фор–мулой, выделенной в отдельную строку. Особенно вызывает спор постановка знака перед формулой.

Возьмем самый общий случай, т.е. формульный текст следующе–го типа (рис. 2), и рассмотрим знаки препинания перед формулой, между несколькими формулами, после формулы и в послефор-мульном тексте.

Рис. 2. Общий случай формульного текта

Перед формулой может не быть никакого знака, могут стоять за–пятая, двоеточие. После текста, предшествующего формуле, обычно никаких знаков препинания не ставят, если формула представляет собой член предложения, который по правилам пунктуации не должен отделяться от предшествующих слов знаками препинания. Например:

Эффективность канала мы характеризуем величиной

Запятая перед формулой обычно ставится, если предформульный текст оканчивается вводным словом. Например: Но для решеток ВНА всегда?1 = 0, следовательно,

d 2 = ?? ?i p + G p = f (?, t ?) и G p = f (?, t ?) ? f (d 2).

Запятая ставится также тогда, когда перед формулой заканчива–ются придаточное предложение, причастный или деепричастный оборот.

Теперь, если Р ех и е е оба равны нулю,

Из формулы (36) получим, вводя коэффициенты расхода,

Самым спорным вопросом пунктуации в тексте с формулами является постановка двоеточия перед формулой. Двоеточие в рус–ском языке ставится перед однородными членами предложения после обобщающего слова, в бессоюзных сложных предложениях, при прямой речи и использовании цитат.

Перед формулой двоеточие может быть поставлено в следующих случаях.

1. Если перед несколькими формулами есть обобщающее сло–во; при отсутствии его двоеточие перед несколькими формулами следует ставить только в тех случаях, когда нужно предупредить читателя, что далее следует перечисление нескольких формул:

Применяя теорему наложения к уравнению (8.32), получим два вида интеграла свертки, или интеграла Дюамеля:

Из уравнения (3) получим:

2. Если формульный текст можно рассматривать как бессоюз–ное сложное предложение, в котором формула, являясь второй частью, либо разъясняет смысл первой части (возможна мыслен–ная постановка слов а именно), либо содержит причину или обо–снование того, о чем говорится в первой части (возможна мыслен–ная постановка слов потому что, так как, поскольку).

Подставим выражение (3.57) в формулу для B 0 :

Мы предполагаем, что С he , есть линейная функция:

Между формулами принято ставить точку с запятой или запя–тую в зависимости от того, какой знак проводится по всей работе.

В системах уравнений, объединенных парантезами, знаки пре–пинания можно не ставить, рассматривая систему как единый член предложения. Например: Из системы уравнений

можно определить значения постоянных коэффициентов.

Если системой уравнений заканчивается предложение или вслед за системой приводят экспликацию, такую систему рас–сматривают как перечисление формул и отделяют их друг от друга соответствующим знаком.

Иногда две формулы соединяются союзом или. Союз или упо–требляется в русском языке в двух значениях: как разделительный и как уточняющий. Разделительный союз или (одиночный или по–вторяющийся) указывает на необходимость выбора одного из по–нятий, которые выражаются однородными членами и исключают или заменяют друг друга. Перед одиночным разделительным сою–зом или запятая не ставится.

Если союз или имеет уточняющее значение, то запятая перед одиночным союзом ставится обязательно.

Редактору необходимо определить, в каком значении автор употребил союз или между формулами. Иногда нетрудно понять, что вторая формула, присоединенная союзом или, это просто пре–образованная первая формула, и запятая нужна. Так бывает в слу–чаях, когда вместо буквенных обозначений в ту же формулу под–ставляют их числовые значения. Например:

…применим уравнение (2) и после перегруппировки членов полу–чим

Такие конструкции встречаются редко. Поэтому для проверки идентичности формул редактору приходится делать некоторые математические преобразования. Они элементарны (не выходят за пределы курса средней школы) и под силу любому редактору. Рассмотрим несколько примеров.

Из курса тригонометрии известно, что 2 sin ?2 cos ?2 – это фор–мула двойного угла синуса, т.е. 2 sin ?2 cos ?2 = sin 2?2. Следователь–но, во второй формуле 2 sin ?2 cos ?2 заменено на sin 2?2, значит, формулы идентичны и запятую нужно ставить обязательно.

Здесь правая часть первого уравнения сокращена на cos ?2. Формулы тоже идентичны, и запятая нужна.

Постановка запятой перед союзом или в данном случае не тре–бует пояснений.

В этой связи рассмотрим рекомендации для «обработки мате–матического текста, в частности формул, позволяющей без ущер–ба для содержания и усвоения материала добиться либо сокраще–ния числа формул, либо упрощения их написания, уменьшения площади, занимаемой ими в книге».

Иногда бывает необходимо выделить целый ряд формул, по–следовательно получающихся в результате математических преоб–разований, характер которых ясен читателю без дополнительных пояснений. Как правило, все такие формулы выключают посере–дине формата полосы, а сами формулы соединяют словами или, т.е., откуда и т.п., каждая из которых занимает отдельную строку. Однако тот же текст займет гораздо меньшую площадь, если убрать соединительные слова (заменить их точкой с запятой) и располо–жить формулы более компактно.

Например:

Располагая формулы в подбор, мы, естественно, экономим бу–магу. Но автор предлагает вместе с тем убрать уточняющие союзы и слова, а формулы друг от друга отделить точкой с запятой, на–рушая этим математический смысл. В первом примере мы имеем дело с преобразованием одной формулы в другой вид, т.е. послед–няя формула получена путем последовательных преобразований первой. Во втором же примере знак точка с запятой говорит о том, что перед нами несколько самостоятельных формул, не связанных по смыслу с другими формулами. Как видим, рекомендация автора привела к ошибке.

После формулы должен стоять тот знак препинания, который необходим по смыслу.

Существуют ограничения в применении некоторых знаков пре–пинания. Непосредственно к формулам, условным буквенным обо–значениям, символам, математическим терминам, обозначениям единиц измерения и т.п. не могут примыкать знаки препинания, применяемые в качестве математических знаков или похожие на них.

Так, тире (-) совпадает по написанию с математическим знаком операции вычитания (-), двоеточие (:) – со знаком деления (:), восклицательный знак (!) – со знаком факториала (!).

Запятую нельзя ставить между двумя формулами, набранными в подбор, первая из которых оканчивается цифрой, а вторая на–чинается цифрой, запятую также нельзя ставить между перечис–ленными величинами, выраженными арабскими цифрами, так как она может быть принята за разделительный знак десятичной дроби. В этих случаях запятую нужно заменить точкой с запятой.

Формулы или отдельные буквенные обозначения в тексте, имею–щие большие, длинные нижние индексы, обязательно разделяют точкой с запятой, даже тогда, когда по смыслу требуется запятая, иначе запятая будет принята за знак, входящий в индекс, особенно при нечеткой печати.

Например:

l ?e1; l ?22; l ?y+1.

Чтобы исключить возможные ошибки при наборе математиче–ских символов и буквенных обозначений, нужна точная редактор–скаяразметка всех условных знаков, пометок и надписей, помогаю–щих наборщику быстро и безошибочно определять, к какому алфавиту относится та или иная буква, строчная она или пропис–ная, прямая или курсивная, жирная или светлая и т.д.

Разметка необходима в связи с тем, что в русском и латинском алфавитах имеются буквы и знаки совершенно одинаковые или очень сходные между собой как в рукописном начертании, так и в машинописи, но отличающиеся в полиграфическом воспроизве–дении. Так, в рукописном начертании, особенно при быстром письме от руки, почти не различаются прописные или строчные буквы С и с, К и к, О и о, Р и р, S и s, V и v, W и w, Z и z, Y и у, X и х. Сходны по написанию буква О и 0 (ноль) и знак градуса °; русская буква З и цифра 3; римская I и арабская 1 (единица); русская бук–ва х (ха), латинская х (икс) и знак умножения (х) и т.д.

Помимо ясного начертания, все сходные между собой буквы и знаки должны быть соответствующим образом размечены в руко–писи специальными корректурными знаками. Прописные буквы, например, подчеркивают двумя чертами снизу (X), строчные – двумя чертами сверху (x ). Во всех случаях, когда начертание букв может вызвать сомнение у редактора или наборщика следует делать на полях рукописи или непосредственно у букв между строками пояснительные надписи: буква, цифра, ноль, зн. град., зн. умнож., эль, не эль и т.д.

Буквы латинского алфавита в математических формулах наби–рают курсивом и подчеркивают в рукописи волнистой линией. Греческие буквы обводят кружком красного цвета, знаки немец–кого готического шрифта – прямоугольником зеленого цвета.

Некоторые физико-математические величины и обозначения принято набирать прямым шрифтом латинского алфавита, на–пример числа Маха М, Рейнольдса Re, Приндтля Рг и т.п., триго–нометрические, гиперболические, обратные круговые и обратные гиперболические функции, наименования температурных шкал °С, °Ra, °K, °F, общепринятые условные математические сокраще–ния максимума и минимума (max, min), оптимального значения величины (opt), постоянства величины (const), знаков предела (lim), логарифмов десятичных, натуральных и других (lg, log, Log, In, Zn), детерминанта (det) и т.д.

Расположение формул и их частей по техническим правилам набора подчиняется следующему:

– в формулах, состоящих из однострочных и дробных частей, символы и знаки основной строки и делительные линейки рас–полагают по средней линии формулы; при этом если в формуле нет явно выраженной средней линии, ею считают горизонталь, проходящую посередине высоты формулы;

– группы однотипных формул и формул, объединенных паран–тезом, равняют по знаку равенства или другому знаку отношений;

– числитель и знаменатель выключают по центру делительной линейки;

– в колонках определителей формулы при разной их ширине выключают по центру формата колонки.

Набор математических формул подчиняется правилам, которые требуют следующего:

– набирать однострочные формулы шрифтом той же гарнитуры и кегля, что и шрифт основного текста, а их дробные части – шрифтом, кегль которого на 2 пункта меньше;

– не отбивать друг от друга символы, не разделенные матема–тическими знаками, и числа к ним (12ab);

– не отбивать от предшествующего элемента: а) выражения в скобках от открывающей скобки; б) индексы и показатели сте–пени от символа или цифры (если у символа или цифры есть и верхний и нижний индекс, верхний индекс разрешается помещать после нижнего, т.е. с отбивкой на ширину нижнего индекса);

в) подкоренное выражение от знака радикала; г) знаки препина–ния, если предшествующий элемент однострочный; д) скобки за–крывающие от заключенного в скобки выражения; е) факториал;

– не отбивать от последующего элемента: а) дифференциала знак от следующего за ним обозначения функции или аргументов: dX; б) интеграла знак от следующего за ним другого знака интегра–ла: JJ; в) приращения знак от следующего за ним обозначения функций или аргументов, в том числе в скобках: Д/(х); г) радикала знак от следующего за ним подкоренного выражения; д) скобки открывающие от заключенного в скобки выражения; е) функции знак от следующего за ним обозначения функции или аргументов, в том числе в скобках: / (х);

– отбивать на 2 пункта от предшествующих и последующих элементов: а) вертикальные линейки одинарные и двойные | а + b | ? | а | + | b |; х || А ||; б) дифференциала знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначением функции или аргументов; в) интеграла знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначением функции или аргументов;

г) математические обозначения (sin, lg и т.д.) вместе с не отбивае–мым от них показателем степени (sin 2?);д) приращения знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначе–нием функции или аргументов; е) приставные знаки (отбивка может быть увеличена до 12 пунктов, если подключки к знаку больше его ширины); ж) радикала знак вместе с подкоренным выражением;

з) скобки вместе с заключенным в них выражением и не отбивае–мым от закрывающей скобки показателем степени или индексом;

и) соотношения знаки (=, <, ~ и т.д.);

– отбивать от предшествующего элемента на 2 пункта: препи–нания знак от делительной линейки;

– отбивать на 3 пункта от предшествующего элемента обозначе–ния единиц физических величин в книжных изданиях (15 км/ч);

– отбивать на 3 пункта от последующего элемента запятую внутри формулы;

– не отбивать по горизонтали: а) знаменатель от делительной линейки, за исключением случаев, когда показатель степени зна–менателя вплотную примыкает к делительной линейке и когда до–пускается отбивка от нее на 1-2 пункта и знаменателя, и числителя; б) над– или подстрочные знаки от символов; в) подключки к при–ставным знакам от этих знаков; г) числитель от делительной ли–нейки, за исключением случаев, когда нижний индекс вплотную примыкает к делительной линейке и когда допускается отбивка от нее на 1-2 пункта и числителя, и знаменателя.