При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала . Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Формула

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Подведение основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac{1}{a} d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) $	$ \frac{dx}{x} = d(\ln x) $
$ -\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x}) $	$ \frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C $$

Примеры решений

Пример 1

Найти интеграл $$ \int \sin x \cos x dx $$

Решение

В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \соs x $. Используя формулы имеем: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Интегральное исчисление

1.1 Первообразная, неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на множестве X, если для всех .

Выражение F(x)+C представляет собой семейство всех первообразных функции f(x). (C=const).

Определение. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом.

Обозначается .

Простейшие свойства.

1)

2)

3)

Таблица основных интегралов

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

В частности:

; ; .

Из определения и свойств неопределенного интеграла следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями: производная правой части в каждой формуле равна подынтегральной функции. Проверим, например, формулу 2.

Примеры:

Методы интегрирования

Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)

Если относительно данной переменной интеграл не является табличным, то в некоторых случаях его можно привести к табличному относительно новой переменной с помощью подведения под знак дифференциала нужной функции.

При этом удобно пользоваться следующими формулами, которые получаются из формул дифференцирования при прочтении их в обратном порядке:

…
, n ≠-1

Примеры (см. задание 1а)

Метод письменной замены переменной (подстановки)

1. Вводим новую переменную (подстановку)

2. Дифференцируем подстановку.

3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.

4. Вычисляем интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Примеры (см. задание 1а):

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяют для интегралов вида:

а) , , ;

б) , , , , ;

где - многочлен.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.

2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx .

3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.

Примеры (см. задание 1б):

.

4) можно решение записать иначе:

Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y

Определенный интеграл

Задача о площади.

Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x) , прямыми x=a, x=b , отрезком [a ,b ]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

1) Разобьем отрезок [a, b ] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; .

2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке .

Найдем значения функции в этих точках

Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.

3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда

Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.

.

Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b ], m, M - ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b ], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b ], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b ], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b ], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример .

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b ], введем подстановку . Если

1) непрерывны при ,

2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b , , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ .

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ , график решения ДУ называется интегральной кривой .

Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k -ой степени однородности, если выполняется равенство:

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

Коэффициентами

Это уравнения вида

,

(1)

где – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные

Общее решение однородного уравнения,

Линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b) , если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры (см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

; ; .

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

3)

Ряды

Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядом называется выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой .

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся .

Расходящиеся ряды суммы не имеют.

Знакопеременные ряды

Признак Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде

1) абсолютные величины членов ряда убывают ;

то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.

Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .

Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.

Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.

1) ;

2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.

– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k =3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.

При a =0 имеем

(1)

При степенной ряд (1) принимает вид

(2)

Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.

Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.

– радиус интервала сходимости.

– интервал сходимости.

Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости.

Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример.

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.

1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид

Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:

– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд

расходится, точка – точка расходимости.

2) x =5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x =5 – точка расходимости.

(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.

.

– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:

1) , тогда степенной ряд примет вид:

– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:

1) ;

2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.

2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.

– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.

– область сходимости степенного ряда.

Теория вероятностей

Вероятность события

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е. , где m – число элементарных исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие исходы), n – число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.

1) Пусть U – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению U , т. е. m=n , тогда

P (U )=1.

2) V – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. m= 0, тогда

P (V )=0.

3) А – случайное событие, 0<m <n , тогда , т. е.

0<P (A )<1.

Пример . Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.

Пусть А – событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению события А – три, тогда .

Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c . Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями , обозначаются .

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками , обозначаются .

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями , обозначаются .

,

.

Следует помнить, что .

Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда

.

Основные теоремы.

Теоремы сложения

1. Вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B )=P (A )+P (B ).

2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P (A+B )=P (A )+P (B )–P (AB ).

Теоремы умножения

Определения.

1) События называются независимыми , если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.

2) События называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое или нет.

3) Вероятность события А , вычисленная при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью , обозначается (читается: «Р от А при условии, что В произошло»).

Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло.

.

Теорема 2. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача . Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. найти вероятность того, что будут вынуты два валета.

Пусть А – событие, состоящее в том, что первая карта – валет;

В – событие, состоящее в том, что вторая карта – валет;

С – событие, состоящее в том, что вынуты два валета.

Тогда . События А и В – зависимые, тогда .

Полная группа событий

Если сумма событий есть достоверное событие (т. е., в результате испытания хотя бы одно из них непременно произойдет), то события образуют полную группу событий. Если эти события попарно несовместны, то образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теорема. Если образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна 1. .

Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными .

Или: противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении А (читается «не А »).

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: .

Если , то p+q= 1 .

Вероятность наступления хотя бы одного события

Теорема. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . – независимые в совокупности события. Тогда .

Задача. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение часа выйдет из строя, равна 0,015, для второго и третьего станков эти вероятности равны 0,02 и 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок выйдет из строя.

А Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Но пусть уже известно, что событие А – произошло. Тогда вероятность гипотезы после опыта определяется по формуле:

.

P (A ) находим по формуле полной вероятности.

Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые собираются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше второго. Первый производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.

– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, – вторым. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь отличного качества.

Формула Бернулли

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью P (A )=p , причем . Последовательность появления события А не имеет значения. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступает ровно m раз вычисляется по формуле:

,

где – число сочетаний из n элементов по m (см. выше).

Задача. Орудие стреляет по цели пять раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что орудие попадает два раза.

Случайные величины

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из возможных своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств, которые не всегда можно учесть. Обозначается X, Y, Z,

Тогда закон распределения этой случайной величины принимает вид:

X
P	0,512	0,384	0,096	0,008

Контроль:

Числовые характеристики

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности этих возможных значений. Обозначается:

Математическое ожидание – это число, центр распределения случайной величины, – ее возможные значения расположены на оси левее и правее математического ожидания.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от своего математического ожидания.

Можно доказать, что

Этой формулой удобно пользоваться в расчетах. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется .

Пример . (см. задание 8). Дан ряд распределения случайной величины. Найти .

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида или (коэффициенты , и не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Заключаем выражение, которое находится в знаменателе (неважно – под корнем или без корня) под знак дифференциала, в данном примере:

3) Раскрываем дифференциал:

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, . В данном случае подходящим множителем является:

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла: .
Уже ближе, но у нас не то слагаемое:

5) К нашему дифференциалу :
– приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе).

Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл:

Пример 16

Найти неопределенный интеграл:

Для решения данных примеров будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в моей таблице:

Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…

Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций .

Итак, продолжаем наше знакомство с основными приёмами интегрирования. В прошлый раз мы научились с вами пользоваться и рассмотрели самые простые самых простых функций. Теперь настала пора двигаться дальше и понемногу расширять наши возможности.

Итак, метод подведения функции под знак дифференциала – в чём его суть? Вообще говоря, данный метод не является самостоятельным методом интегрирования. Это, скорее, частный случай более общего и мощного метода – метода замены переменной . Или метода подстановки . Почему? А потому, что сам процесс интегрирования подведением под дифференциал всё равно сопровождается последующим введением новой переменной. Звучит пока малопонятно, но на примерах всё куда яснее будет.

Что нам потребуется в сегодняшнем материале:

1) Правило раскрытия дифференциала любой функции f (x ). Именно само правило. Строгое определение, что же такое дифференциал, нам здесь не нужно. А правило - вот:

d(f(x)) = f ’(x )dx

Всё просто, как в сказке: считаем производную функции f’(x) и помножаем её на dx (дифференциал аргумента).

2) Таблица производных. Да-да! Я серьёзно. :)

3) Ну, логично. Раз уж мы здесь вовсю интегрируем.) Это тема прошлых двух уроков.

4) Правило дифференцирования сложной функции.

Вот, собственно, и всё.

Когда чаще всего применяется данный метод? Чаще всего он применяется в двух типовых ситуациях:

Случай 1 - Сложная функция от линейного аргумента

Подынтегральная функция имеет вид:

f(kx + b)

В аргументе – линейная конструкция kx + b . Или, по-другому, под интегралом стоит какая-то сложная функция от линейного аргумента kx+b.

Например:

И тому подобные функции. Интегралы от таких функций очень легко сводятся к табличным и берутся в уме буквально через пару-тройку успешно решённых примеров. И мы порешаем.)

Случай 2 - Сложная функция от произвольного аргумента

В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение:

f (g (x ))· g ’(x )

Иными словами, под интегралом тусуется произведение некой сложной функции f (g (x )) и производной от её внутреннего аргумента g ’(x ) . Или интеграл легко сводится к такому виду. Это более сложный случай. О нём - во второй части урока.

Чтобы не томить народ долгими ожиданиями и разглагольствованиями, сразу приступаем к примерам на случай 1 . Будем интегрировать те функции, что я выписал выше. По порядочку.

Как подвести под дифференциал линейную функцию?

И сразу пример в студию.)

Пример 1

Лезем в таблицу интегралов и находим похожую формулу (это 4-я группа):

Всё бы хорошо, но… есть проблемка. :) В таблице интегралов в показателе экспоненты e x стоит просто икс . У нас же в показателе тусуется 3х. Три икс. Не катит… Не годится табличная формула для прямого применения: тройка всё испортила. Доцент! А, доцент! Что делать-то будем? (с)

Чтобы справиться с этим примером, нам придётся "подогнать" данный интеграл под табличную формулу. И сейчас я подробно покажу, как именно происходит подгонка. Для этого давайте-ка вернёмся в самое начала раздела и вспомним самую общую запись неопределённого интеграла. В общем виде. Вот она:

Так вот. Весь фокус состоит в том, что эта самая общая запись неопределённого интеграла будет справедлива не только для переменной икс , но и для любой другой буквы – y, z, t или даже целого сложного выражения . Какого хотим. Важно, чтобы соблюдалось одно единственное требование: в скобочках подынтегральной функции f(…), первообразной функции F(…) и под дифференциалом d(…) стояли одинаковые выражения . Во всех трёх местах! Это важно.

Например:

И так далее.) Какая бы буковка и какое бы сложное выражение ни стояли в этих трёх местах, табличная формула интегрирования всё равно сработает! И это неудивительно: любое сложное выражение мы имеем полное право обозначить одной буквой. И работать целиком со всей конструкцией как с одной буквой . А таблице по барабану, какая там буква стоит – икс, игрек, зэт, тэ… Для неё все буквы равноправны.) Поэтому сама конструкция во всех скобочках может при этом быть совершенно любой. Лишь бы одной и той же. )

Поэтому, для нашей конкретной табличной формулы ∫ e x dx = e x + C , мы можем записать:

А теперь порассуждаем. Для того чтобы в нашем примере у нас появилось право воспользоваться таблицей, нам надо добиться того, чтобы под интегралом образовалась вот такая конструкция:

И в показателе и под дифференциалом должно стоять выражение 3х . А теперь посмотрим ещё раз на наш пример:

С показателем и так всё как надо, там у нас 3х. По условию.) А вот под дифференциалом пока что стоит просто х . Непорядок! Как же нам из dx сделать d(3x) ?

Для достижения этой благородной цели нам надо как-то связать между собой два дифференциала - новый d(3х) и старый dx . В данном случае это очень легко сделать. Если, конечно, знать, как раскрывается дифференциал.)

Получим:

Отлично! Значит, связь между старым и новым дифференциалами будет вот такой:

Dx = d(3x)/3.

Что? Не помните, как раскрывать дифференциал? Это вопрос к первому семестру. К дифференциальному исчислению.)

А теперь что делаем? Правильно! Подставляем вместо старого дифференциала dx новое выражение d(3x)/3 в наш пример. Тройка в знаменателе нам уже не помеха: мы её того… наружу. За знак интеграла.)

Что получим:

Вот и отлично. В показателе экспоненты и под дифференциалом образовалось совершенно одинаковое выражение 3х. Чего мы, как раз, так усиленно добивались.) И с выражением 3х теперь можно работать целиком, как с одной новой буквой . Пусть t, например. Тогда после замены выражения 3x на t наш интеграл станет выглядеть вот так:

А новый интеграл по переменной t - уже так нужный нам табличный! И теперь можно с чистой совестью воспользоваться табличной формулой и твёрдой рукой записать:

Но расслабляться рано. Это пока ещё не ответ: нам икс нужен, а не t. Осталось лишь вспомнить, что t = 3x и выполнить обратную замену . И теперь наш ответ полностью готов! Вот он:

Вот всё и получилось.) Ну что, проверим? А вдруг, напортачили где-то? Дифференцируем результат:

Нет. Всё гуд.)

Пример 2

В таблице интегралов функции cos (x +4) нету. Есть просто косинус икс. Но! Если мы как-то организуем выражение х+4 и под дифференциалом d ( x +4) , то выйдем на табличный интеграл:

∫ cos x dx = sin x + C

Итак, связываем наш требуемый новый дифференциал d(x+4) со старым dx:

d (x +4) = (х+4)’· dx = 1· dx = dx

Ух ты, как хорошо! Оказывается, наш новый дифференциал d(x+4) это то же самое, что и просто dx! И безо всяких дополнительных коэффициентов. Халява сплошная!)

Да.) Так и есть. Смело заменяем dx на d(x+4), работаем со скобкой (x+4) как с новой буквой и с чистой совестью пользуемся таблицей.

В этот раз решение запишу чуть компактнее:

Проверяем результат интегрирования обратным дифференцированием:

(sin(x+4)+C)’ = (sin(x+4))’ + C’ = cos(x+4)∙(x+4)’+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Всё в шоколаде.)

Ну как, хлопотно? Согласен, хлопотно. Каждый раз выписывать дифференциалы, связывать один с другим, выражать старый дифференциал через новый… Не отчаивайтесь! Есть хорошая новость! Так обычно и не делают. :) Я так подробно расписал решение чисто для понимания сути алгоритма. На практике же поступают гораздо проще. Давайте ещё разок выпишем наши связи между старыми и новыми дифференциалами из обоих примеров:

Что можно заметить из этих записей? Два очень важных факта!

Запоминаем:

1) Любой ненулевой числовой коэффициент k (k≠0) можно внести под дифференциал, для компенсации разделив полученный результат на этот коэффициент:

2) Любое постоянное слагаемое b можно внести под дифференциал без последствий:

Строго доказывать данные факты не буду. Ибо просто это. Из примеров и так всё понятно, надеюсь.) Если хотите строгости – ради бога. Упрощайте правые части обоих равенств, раскрывая дифференциалы. И там и там получите просто dx. :)

Данные два факта можно легко объединить в один, более универсальный.

Любую линейную конструкцию kx+b можно внести под дифференциал dx по правилу:

Подобная процедура носит название подведение функции под знак дифференциала . В данном случае под дифференциал подводится линейная конструкция kx + b . Мы искусственно превращаем неудобный нам дифференциал dx в удобный d (kx + b ) .

И зачем нам такие ужасающие возможности - спросите вы? Просто так – незачем. Но зато с помощью такого искусного манёвра очень многие нетабличные интегралы теперь будут щёлкаться буквально в уме. Как орешки.)

Смотрите!

Пример 3

Этот пример будем сводить к табличному интегралу от степенной функции:

Для этого подведём под дифференциал нашу линейную конструкцию 2х+1, стоящую под квадратом. То есть, вместо dx пишем d(2x+1). Так нам надо. Но математике надо, чтобы от наших действий суть примера не изменилась! Поэтому идём на компромисс и, согласно нашему правилу, домножаем дополнительно всю конструкцию на коэффициент 1/2 (у нас k = 2, поэтому 1/k = 1/2).

Вот так:

И теперь считаем:

Готово дело.) А вот тут у некоторых читателей может возникнуть вопрос. Очень хороший вопрос, между прочим!

Мы ведь могли и не подводить выражение 2х+1 под дифференциал, не вводить никакую новую переменную, а просто взять и тупо возвести скобки в квадрат по школьной формуле квадрата суммы

(2х+1) 2 = 4х 2 +4х+1 ,

После чего почленно (в уме!) проинтегрировать каждое слагаемое. Можно так делать? Конечно! А почему – нет? Попробуйте! И сравните полученные результаты. Будет вам там сюрприз! Подробности – в конце урока. :)

А мы пока движемся дальше. Оставшиеся примеры распишу уже без особых комментариев… Подводим линейный аргумент kx+b под дифференциал, а образовавшийся коэффициент 1/k выносим за знак интеграла. И срабатываем по таблице. Окончательные ответы выделены жирным шрифтом.

Пример 4

Легко!

Пример 5

Без проблем!

И, наконец, последний пример.

Пример 6

И тут всё проще простого!

Ну как? Понравилось? И теперь такие примеры вы можете щёлкать в уме! Заманчивая возможность, правда?) Более того, сами подобные интегралы частенько бывают отдельными слагаемыми в более накрученных примерах.

Кстати сказать, после определённого навыка работы с таблицей первообразных, со временем полностью отпадает необходимость вводить новую промежуточную переменную t. За ненадобностью.

Например, очень скоро, вы сразу в уме на подобные примеры будете давать готовый ответ:

И даже в один присест расправляться с монстрами типа:

А вы попробуйте вычислить данный интеграл "в лоб", через возведение в 1000-ю степень по формуле бинома Ньютона! Придётся почленно интегрировать 1001 слагаемое, да… А вот с помощью подведения под дифференциал - в одну строчку!

Так, ну хорошо! С линейной функцией всё предельно ясно. Как именно подводить её под дифференциал – тоже. И тут я слышу закономерный вопрос: а только ли линейную функцию можно подвести под дифференциал?

Разумеется, нет! Любую функцию f(x) можно подвести под дифференциал! Ту, которая удобна в конкретном примере. А уж какая там удобна – от конкретного примера зависит, да… Просто на примере линейной функции очень просто демонстрировать саму процедуру подведения. На пальцах, что называется.) А теперь мы плавненько подходим к более общему случаю 2 .

Как подвести под дифференциал любую произвольную функцию?

Речь пойдёт о случае, когда подынтегральная функция имеет вот такой вид:

f (g (x ))· g ’(x ) .

Или, что то же самое, подынтегральное выражение имеет вид:

f (g (x ))· g ’(x )dx

Ничего особенного. Просто dx приписал.)

Одним словом, речь пойдёт об интегралах вида:

Не пугаемся всяких штрихов и скобочек! Сейчас всё куда яснее станет.)

В чём здесь суть. Из исходной подынтегральной функции можно выделить сложный аргумент g (x ) и его производную g ’(x ) . Но не просто выделить, а расписать именно в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) от этого самого аргумента на его производную g ’(x ) . Что и выражается записью:

f (g (x ))· g ’(x )

Перефразируем теперь всё в терминах дифференциала: подынтегральное выражение можно представить в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) и дифференциала её аргумента g ’(x ) dx .

И тогда, стало быть, всё наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

Говоря по-русски, мы вносим промежуточную функцию g (x ) под знак дифференциала . Было dx, а стало d(g(x)). И зачем нам эти метаморфозы? А затем, что, если сейчас ввести новую переменную t = g(x) , то наш интеграл существенно упростится:

И, если новый интеграл по новой переменной t вдруг (!) окажется табличным, то всё в шоколаде. Празднуем победу!)

"Многа букафф", да. Но на примерах сейчас всё куда понятнее будет. :) Итак, вторая часть пьесы!

Пример 7

Это классика жанра. Под интегралом дробь. Напрямую таблицей не воспользуешься, никакими школьными формулами ничего не преобразуешь. Только подведение под дифференциал и спасает, да.) Для этого распишем нашу подынтегральную дробь в виде произведения. Хотя бы вот такого:

А теперь разбираемся. С логарифмом в квадрате всё ясно. Он и в Африке логарифм… А что такое 1/x? Вспоминаем нашу незабвенную таблицу производных… Да! Это производная логарифма!

Вставляем теперь в подынтегральную функцию вместо 1/х выражение (ln x) ’ :

Вот мы и представили исходную подынтегральную функцию в нужном нам виде f (g (x ))· g ’(x ) . Превратили её в произведение некой функции от логарифма f(ln x) и производной от этого самого логарифма (ln x) ’ . А именно - в произведение ln 2 x и (ln x) ’.

А теперь давайте подробно расшифруем, какие же именно действия у нас скрываются за каждой буковкой.

Ну, с функцией g(x) всё ясно. Это логарифм: g(x) = ln x .

А что же скрывается под буквой f? Не всех осеняет сразу… А под буквой f у нас скрывается действие - возведение в квадрат :

Вот и вся расшифровка.)

А всё подынтегральное выражение можно теперь переписать вот так:

И какую же функцию мы внесли под дифференциал в данном примере? В данном примере мы внесли под дифференциал логарифмическую функцию ln x!

Готово дело.) Для того чтобы убедиться в правильности результата, всегда можно (и нужно) продифференцировать ответ:

Ура! Всё ОК.)

А теперь обратите внимание, как именно мы дифференцируем окончательный ответ всех примеров этого урока. Неужели до сих пор не уловили закономерность? Да! Как сложную функцию! Оно и естественно: дифференцирование сложной функции и подведение функции под знак дифференциала – это два взаимно обратных действия. :)

Это был довольно несложный пример. Чтобы разобраться, что к чему. Теперь пример посолиднее.)

Пример 8

Опять же, впрямую ничего не решается. Попробуем метод подведения под дифференциал с последующей заменой. Вопрос – что подводить и заменять будем? А вот тут уже задачка.)

Нам надо попробовать подынтегральную функцию x·cos(x 2 +1) как-то представить в виде произведения функции от чего-то на производную этого самого чего-то :

Ну, произведение у нас и так уже есть - икса и косинуса.) Чутьё подсказывает, что функцией g(x), которую мы и будем подводить под дифференциал, будет выражение x 2 +1 , которое сидит внутри косинуса. Прямо таки напрашивается:

Всё чётко. Внутренняя функция g - это x 2 +1, а внешняя f - это косинус.

Хорошо. А теперь давайте проверим, не связан ли как-то оставшийся множитель x с производной выражения x 2 +1 , которое мы выбрали в качестве кандидата на подведение под венец дифференциал.

Дифференцируем:

Да! Связь налицо! Если 2x = (x 2 +1)’ , то для одинарного икса мы можем записать:

Или, в виде дифференциалов:

Всё. Кроме x 2 +1, никаких других выражений с иксом у нас больше нигде в примере нет. Ни в подынтегральной функции, ни под знаком дифференциала. Чего мы и добивались.

Переписываем теперь наш пример с учётом этого факта, заменяем выражение x 2 +1 новой буквой и – вперёд! Правда, это… Коэффициент 1/2 ещё вылез… Не беда, мы его наружу, наружу! :)

Вот и всё. Как мы видим, в предыдущем примере под дифференциал вносилась логарифмическая функция, а здесь - квадратичная.

Рассмотрим теперь более экзотический пример.

Пример 9

На вид ужас-ужас! Однако, горевать рано. Самое время вспомнить нашу горячо любимую таблицу производных.) А чуть конкретнее – производную арксинуса.

Вот она:

Тогда, если подвести этот самый арксинус под дифференциал, то этот злой пример решается в одну строчку:

И все дела!

А теперь, давайте на данном примере проанализируем весь наш увлекательный процесс подведения функции арксинус под дифференциал. Что нам пришлось сделать, чтобы успешно справиться с этой задачей? Нам пришлось опознать в выражении

производную другого выражения – арксинуса! Иными словами, сначала вспомнить (по таблице производных), что

И затем сработать справа налево. Вот так:

А вот это уже посложнее, чем простое дифференцирование, согласитесь! Точно так же, как и, например, извлекать квадратный корень сложнее, чем возводить в квадрат.) Нам приходится подбирать нужную функцию. По таблице производных.

Поэтому, помимо прямого дифференцирования, в интегрировании нам ещё надо будет постоянно проводить обратную операцию - распознавать в функциях производные других функций . Здесь чёткого алгоритма нет. Тут практика рулит.) Рецепт здесь один – решать примеры! Как можно больше. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров – и такие замены вы будете замечать и проделывать достаточно быстро и легко. На автомате, я бы даже сказал. И обязательно надо знать таблицу производных! Наизусть.)

Я даже не поленюсь и самые популярные конструкции сведу в отдельную таблицу дифференциалов .

Этой небольшой сводной таблички уже вполне достаточно, чтобы успешно расправляться с большей частью примеров, решаемых методом подведения функции под знак дифференциала! Имеет смысл разобраться. :)

Скажу отдельно, что конструкция dx/x и соответствующий ей табличный интеграл ln|x| – одни из самых популярных в интегрировании!

К этой табличной формуле с логарифмом сводятся все интегралы от дробей, числитель которых является производной знаменателя . Смотрите сами:

Например, даже безо всякой замены, по этому правилу можно в одну строчку проинтегрировать тангенс, к примеру. Кто-то тут как-то спрашивал про тангенс? Пожалуйста!

И даже такие гиганты тоже интегрируются в одну строчку!

Забавно, правда? :)

Возможно, у особо глазастых возник вопрос, почему в первых трёх случаях я под логарифмом написал модуль, а в последнем случае – не написал?

Ответ: выражение e x +1 , стоящее под логарифмом в последнем примере, положительно при любом действительном x . Поэтому логарифм от выражения e x +1 всегда определён, и в данном случае вместо модуля можно использовать обычные скобки. :)

А зачем вообще под логарифмом в табличном интеграле стоит модуль? Ведь, в таблице производных у логарифма никакого модуля нету и при дифференцировании мы спокойненько пишем:

(ln x)’ = 1/х

А при интегрировании функции 1/x ещё и модуль зачем-то пишем…

На этот вопрос отвечу позже. В уроках, посвящённых определённому интегралу . Связан этот модуль с областью определения первообразной .

Заметьте: мы, как фокусники в цирке, по правде говоря, просто осуществляем какой-то набор махинаций с функциями, превращая их друг в друга по некой табличке. :) А с областью определения пока что вообще никак не паримся. И, по правде говоря, зря. Ведь мы работаем всё-таки с функциями! А область определения – важнейшая часть любой функции, между прочим! :) В том числе и тех функций, с которыми мы здесь работаем – подынтегральной f(x) и первообразной F(x) . Так что про область определения мы ещё вспомним. В специальном уроке.) Терпение, друзья!

Вот мы и рассмотрели с вами типовые примеры интегралов, решаемых подведением функции под знак дифференциала.) Сложно? Поначалу - да. Но после определённой тренировки и выработки навыка такие интегралы вам будут казаться одними из самых простых!

А теперь – обещанный сюрприз! :)

Давайте вновь вернёмся к примеру №3 . Там, подводя выражение 2х+1 под дифференциал, мы получили вот такой ответ:

Это правильный ответ. Продифференцируйте на бумажке, как сложную функцию, и убедитесь сами. :)

А теперь рассмотрим другой способ решения этого же примера. Не будем ничего подводить под дифференциал, а просто тупо раскроем квадрат суммы и почленно проинтегрируем каждое слагаемое. Имеем полное право!

Получим:

И это тоже правильный ответ!

Вопрос: первый и второй ответы к одному и тому же интегралу – одинаковы или различны?

Ведь, по логике, ответы к одному и тому же примеру, полученные двумя разными способами, должны совпадать, не так ли? Сейчас узнаем! Преобразуем первый результат, раскрыв куб суммы по формуле сокращённого умножения (a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3 .

Что получим:

А теперь сравниваем оба результата:

И… что-то тут не так! Откуда же в первом результате взялась "лишняя" дробь 1/6? Получается, что к одному и тому же интегралу получены два разных ответа!

Парадокс? Мистика?

Спокойствие! Разгадка тайны кроется в . Вспоминаем самый первый урок по интегрированию. :) Там зачем-то приведена оч-чень важная фраза: две первообразные одной и той же функции F 1 ( x ) и F 2 ( x ) отличаются друг от друга на константу.

А теперь вновь всматриваемся в наши результаты. И... видим, что в нашем случае так и есть: полученные двумя разными путями ответы как раз и отличаются на константу. На одну шестую. :)

F 1 (x) – F 2 (x) = 1/6

Вот и весь секрет. Так что никакого противоречия нет. :)

А его вообще можно взять аж... тремя различными способами! Не верите? Смотрите cами! :)

Способ №1 . Синус двойного угла не трогаем, а просто подводим аргумент 2x под дифференциал (как, собственно, уже делали в процессе разбора):

Способ №2 . Раскрываем синус двойного угла, под дифференциал подводим sin x :

Способ №3 . Снова раскрываем синус двойного угла, но под дифференциал подводим cos x:

А теперь дифференцируем все три ответа и удивляемся дальше:

Чудеса, да и только! Получилось три разных ответа! Причём в этот раз даже внешне не похожих друг на друга. А производная - одна и та же! :) Неужели дело опять в интегральной константе, и каждая из трёх функций отличается от другой на константу? Да! Как это ни странно, но это именно так.) А вы поисследуйте эти три функции самостоятельно! Не сочтите за труд. :) Преобразуйте каждую функцию к одному виду - либо к sin 2 x , либо к cos 2 x . И да помогут вам школьные формулы тригонометрии! :)

К чему я рассмотрел эти сюрпризы и вообще затеял все эти светские беседы про интегральную константу?

А дело вот в чём. Как вы видите, даже небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, да... Но фишка в том, что от этого ответ не перестаёт быть правильным! И, если в сборнике задач вы, вдруг, увидите ответ, не совпадающий с вашим, то огорчаться рано. Ибо этот факт вовсе не означает, что ваш ответ неверен! Возможно, что вы просто пришли к ответу иным путём, чем предполагал автор примера. Так бывает.) А убедиться в правильности ответа всегда поможет самая надёжная проверка, основанная на . Какая? Правильно! Дифференцирование окончательного ответа! Получили подынтегральную функцию - значит, всё ОК.

Ну как, прочувствовали теперь, насколько важен значок dx под интегралом? Во многих примерах только он и спасает, да. Мощная штука! Так что теперь не пренебрегаем им! :)

А теперь – тренируемся! Поскольку тема не самая простая, то и примеров для тренировки в этот раз будет больше обычного.

Методом подведения функции под знак дифференциала найти неопределённые интегралы:

Ответов в этот раз давать не буду. Так будет неинтересно. :) Не ленитесь дифференцировать результат! Получили подынтегральную функцию – ОК. Нет – ищите, где накосячили. Все примеры очень простые и решаются в одну (максимум две) строчки. Кому позарез нужны ответы, все примеры взяты из сборника задач по матанализу Г.Н. Бермана. Скачивайте, ищите свой пример, сверяйтесь. :) Успехов!

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f (g (x)) d (g (x)) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = - cos x + C , значит, ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C .

Ответ: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = - d (cos x) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , где C = - C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d (x 3) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d (x 3) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d (x + 1) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 " d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter