Площадь треугольника с вписанной окружностью. Радиус вписанной окружности в ромб

Окружность, вписанная в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник

Напомним определение биссектрисы угла .

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

Доказательство D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны , поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая , то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны , поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

a , b , c – стороны треугольника, 
 S –площадь,

r – радиус вписанной окружности, 
 p – полупериметр

.

Посмотреть вывод формулы

a – боковая сторона равнобедренного треугольника , 
 b – основание, r – радиус вписанной окружности

a r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формул

,

где

,

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

Теорема 7 . Для справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

Доказательство .

,

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

Замечание . Я рекомендую вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a , b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза , r – радиус вписанной окружности.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку четырёхугольник CDOF является , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – . Следовательно,

СВ = СF= r,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание , получаем

что и требовалось.

Подборка задач по теме «Окружность, вписанная в треугольник».

1.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

2.

3

В треугольнике ABC АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.

4.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

5.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите с(–1).

Приведем ряд задач из ЕГЭ с решениями.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: .

Задача 2.

1. В произвольном две боковые стороны 10см и 6см (AB и BC). Найти радиусы описанной и вписанной окружностей
Задача решается самостоятельно с комментированием.

Решение:

В .

1) Найти:
2) Доказать: и найти СK
3) Найти: радиусы описанной и вписанной окружностей

Решение:

Задача 6.

Р адиус окружности вписанной в квадрат равен . Найти радиус окружности описанной около этого квадрата. Дано :

Найти : ОС=?
Решение : в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.

Задача 7.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите .

S – площадь треугольника

Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:

А площадь треугольника будет равна 0,5х 2 .

Значит

Таким образом, гипотенуза будет равна:

В ответе требуется записать:

Ответ: 4

Задача 8.

В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 90 0 . Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.

По теореме Пифагора:

Найдём площадь:

Таким образом:

Ответ: 1

Задача 9.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:

Тогда

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.

Вконтакте

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра . Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла , после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя ?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

• площадь;
• градусная мера каждого угла;
• длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке . Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым , скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника :

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

• длину окружности (C);
• диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
• площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

• Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
• Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
• Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
• Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.

Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.